ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 999 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (−4; 4), (−5; 1) и (−1; 5). Сколько решений имеет задача?

Дано: ABCD — параллелограмм с координатами A(-4; 4), B(-5; 1), D(-1; 5), C(x; y). Найти координаты точки C(x; y).

1. Вычисляем длины сторон:

AB = \(\sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{10}\)

AD = \(\sqrt{(-4 + 1)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{10}\)

BC = \(\sqrt{(-5 — x)^2 + (1 — y)^2}\)

CD = \(\sqrt{(x + 1)^2 + (y — 5)^2}\)

2. Используем свойства параллелограмма: AB = CD и BC = AD.

\((x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10\)

\((-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10\)

Решаем систему уравнений:

\((x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10\)

\((1 — y)^2 + (y — 5)^2 = 10\)

Находим:

\(x = -y\)

\(y^2 — 6y + 8 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(y = 2\) или \(y = 4\)

Для \(y = 2\), \(x = -2\).

Ответ: C(-2; 2).

Дано: ABCD — параллелограмм с координатами A(-4; 4), B(-5; 1), D(-1; 5). Необходимо найти координаты точки C(x; y).

Шаг 1: Вычисление длин сторон

Для нахождения длины стороны используем формулу расстояния между двумя точками:

\(
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
\)

AB:

\(
AB = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

AD:

\(
AD = \sqrt{(-4 + 1)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\)

BC:

\(
BC = \sqrt{(-5 — x)^2 + (1 — y)^2}
\)

CD:

\(
CD = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 5)^2}
\)

Шаг 2: Использование свойств параллелограмма

Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.

Запишем уравнения:

\(
(x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10
\)

\(
(-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10
\)

Шаг 3: Решение системы уравнений

Первое уравнение:

\(
(x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 2x + 1 + y^2 — 10y + 25 = 10
\)

Упростим:

\(
x^2 + 2x + y^2 — 10y + 26 = 10
\)

\(
x^2 + 2x + y^2 — 10y = -16
\)

Второе уравнение:

\(
(-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10
\)

Раскроем скобки:

\(
25 + 10x + x^2 + 1 — 2y + y^2 = 10
\)

Упростим:

\(
x^2 + 10x + y^2 — 2y + 26 = 10
\)

\(
x^2 + 10x + y^2 — 2y = -16
\)

Теперь решим систему:

1)
\(
x^2 + 2x + y^2 — 10y = -16
\)

2)
\(
x^2 + 10x + y^2 — 2y = -16
\)

Вычтем второе из первого:

\(
(x^2 + 2x + y^2 — 10y) — (x^2 + 10x + y^2 — 2y) = 0
\)

\(
2x — 10y — 10x + 2y = 0
\)

\(
-8x — 8y = 0
\)

\(
x + y = 0
\)

\(
x = -y
\)

Подставим \(x = -y\) в одно из уравнений, например, в первое:

\(
(-y)^2 + 2(-y) + y^2 — 10y = -16
\)

\(
y^2 — 2y + y^2 — 10y = -16
\)

\(
2y^2 — 12y = -16
\)

\(
2y^2 — 12y + 16 = 0
\)

Разделим на 2:

\(
y^2 — 6y + 8 = 0
\)

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4
\)

Корни:

\(
y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
\)

\(
y_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4
\)

\(
y_2 = \frac{6 — 2}{2} = 2
\)

Для \(y = 4\), \(x = -4\). Это точка A.

Для \(y = 2\), \(x = -2\).

Ответ: C(-2; 2).