Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 999 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (−4; 4), (−5; 1) и (−1; 5). Сколько решений имеет задача?
Дано: ABCD — параллелограмм с координатами A(-4; 4), B(-5; 1), D(-1; 5), C(x; y). Найти координаты точки C(x; y).
1. Вычисляем длины сторон:
AB = \(\sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{10}\)
AD = \(\sqrt{(-4 + 1)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{10}\)
BC = \(\sqrt{(-5 — x)^2 + (1 — y)^2}\)
CD = \(\sqrt{(x + 1)^2 + (y — 5)^2}\)
2. Используем свойства параллелограмма: AB = CD и BC = AD.
\((x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10\)
\((-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10\)
Решаем систему уравнений:
\((x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10\)
\((1 — y)^2 + (y — 5)^2 = 10\)
Находим:
\(x = -y\)
\(y^2 — 6y + 8 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(y = 2\) или \(y = 4\)
Для \(y = 2\), \(x = -2\).
Ответ: C(-2; 2).
Дано: ABCD — параллелограмм с координатами A(-4; 4), B(-5; 1), D(-1; 5). Необходимо найти координаты точки C(x; y).
Шаг 1: Вычисление длин сторон
Для нахождения длины стороны используем формулу расстояния между двумя точками:
\[
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
\]
AB:
\[
AB = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
AD:
\[
AD = \sqrt{(-4 + 1)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
BC:
\[
BC = \sqrt{(-5 — x)^2 + (1 — y)^2}
\]
CD:
\[
CD = \sqrt{(x + 1)^2 + (y — 5)^2}
\]
Шаг 2: Использование свойств параллелограмма
Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.
Запишем уравнения:
\[
(x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10
\]
\[
(-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10
\]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Первое уравнение:
\[
(x + 1)^2 + (y — 5)^2 = 10
\]
Раскроем скобки:
\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 — 10y + 25 = 10
\]
Упростим:
\[
x^2 + 2x + y^2 — 10y + 26 = 10
\]
\[
x^2 + 2x + y^2 — 10y = -16
\]
Второе уравнение:
\[
(-5 — x)^2 + (1 — y)^2 = 10
\]
Раскроем скобки:
\[
25 + 10x + x^2 + 1 — 2y + y^2 = 10
\]
Упростим:
\[
x^2 + 10x + y^2 — 2y + 26 = 10
\]
\[
x^2 + 10x + y^2 — 2y = -16
\]
Теперь решим систему:
1)
\[
x^2 + 2x + y^2 — 10y = -16
\]
2)
\[
x^2 + 10x + y^2 — 2y = -16
\]
Вычтем второе из первого:
\[
(x^2 + 2x + y^2 — 10y) — (x^2 + 10x + y^2 — 2y) = 0
\]
\[
2x — 10y — 10x + 2y = 0
\]
\[
-8x — 8y = 0
\]
\[
x + y = 0
\]
\[
x = -y
\]
Подставим \(x = -y\) в одно из уравнений, например, в первое:
\[
(-y)^2 + 2(-y) + y^2 — 10y = -16
\]
\[
y^2 — 2y + y^2 — 10y = -16
\]
\[
2y^2 — 12y = -16
\]
\[
2y^2 — 12y + 16 = 0
\]
Разделим на 2:
\[
y^2 — 6y + 8 = 0
\]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4
\]
Корни:
\[
y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
\]
\[
y_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4
\]
\[
y_2 = \frac{6 — 2}{2} = 2
\]
Для \(y = 4\), \(x = -4\). Это точка A.
Для \(y = 2\), \(x = -2\).
Ответ: C(-2; 2).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.