ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1086 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

Для доказательства того, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают, можно использовать следующее рассуждение:

Пусть у правильного n-угольника углы равны \[\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}\]. Биссектрисы этих углов являются радиусами описанной окружности. Так как биссектрисы пересекаются в центре описанной окружности, то они либо пересекаются в этой точке, либо совпадают, если угол между ними равен 0°.

Таким образом, мы доказали, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются в центре описанной окружности, либо совпадают.

Доказательство того, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают:

Пусть у правильного n-угольника углы равны \(\alpha = \frac{(n-2)\pi}{n}\). Биссектрисы этих углов являются радиусами описанной окружности.

Рассмотрим два произвольных угла \(\alpha_i\) и \(\alpha_j\) правильного n-угольника. Биссектрисы этих углов пересекаются в центре описанной окружности, обозначим его как точку О.

Докажем, что прямые, содержащие эти биссектрисы, либо пересекаются в точке О, либо совпадают.

1. Если углы \(\alpha_i\) и \(\alpha_j\) равны, то биссектрисы совпадают, и, следовательно, прямые, содержащие эти биссектрисы, совпадают.

2. Если углы \(\alpha_i\) и \(\alpha_j\) не равны, то биссектрисы пересекаются в центре описанной окружности О.

Действительно, пусть \(\alpha_i \neq \alpha_j\). Тогда биссектрисы этих углов образуют угол \(\frac{\alpha_i — \alpha_j}{2}\). Так как центр описанной окружности является точкой пересечения биссектрис, то прямые, содержащие эти биссектрисы, пересекаются в центре описанной окружности.

Таким образом, мы доказали, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются в центре описанной окружности, либо совпадают.