ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 1021 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Дано: ABCD — параллелограмм. Необходимо доказать, что площадь параллелограмма \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\).

Решение:

1. Площадь параллелограмма равна сумме площадей \(\triangle ABD\) и \(\triangle BCD\):

\( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} \)

2. Площадь \(\triangle ABD\) вычисляется по формуле:

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)

3. Площадь \(\triangle BCD\) вычисляется по формуле:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle C \)

4. Для параллелограмма ABCD: \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(\angle A = \angle C\). Подставим эти значения:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)

5. Сложим площади:

\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)

6. Упростим:

\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)

Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна \(AB \cdot AD \cdot \sin \angle A\).

Доказательство того, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:

1. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\) с углом \(\angle A\) между сторонами \(AB\) и \(AD\).

2. Разделим параллелограмм на два треугольника, проведя диагональ \(AC\).

3. Площадь треугольника \(ABD\) можно выразить через стороны и угол между ними:

\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)

4. Площадь треугольника \(BCD\) также выражается через стороны и угол:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin \angle C \)

Но так как \(AB = CD\), \(BC = AD\) и \(\angle A = \angle C\) для параллелограмма, то:

\( S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)

5. Сложим площади треугольников для получения площади параллелограмма:

\( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle A + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB \cdot \sin \angle A \)

6. Упростим выражение:

\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle A \)

Таким образом, доказано, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.