Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 998 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A (−2; −3), В (1; 4), C (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.
Дано: четырехугольник ABCD с координатами A(-2; -3), B(1; 4), C(8; 7), D(5; 0). Нужно доказать, что ABCD — ромб, и найти площадь \( S_{ABCD} \).
1. Найдем длины сторон:
\[ AB = \sqrt{(-2 — 1)^2 + (-3 — 4)^2} = \sqrt{58} \]
\[ BC = \sqrt{(1 — 8)^2 + (4 — 7)^2} = \sqrt{58} \]
\[ CD = \sqrt{(8 — 5)^2 + (7 — 0)^2} = \sqrt{58} \]
\[ AD = \sqrt{(-2 — 5)^2 + (-3 — 0)^2} = \sqrt{58} \]
Поскольку AB = BC = CD = AD, то ABCD — ромб.
2. Найдем диагонали:
\[ BD = \sqrt{(1 — 5)^2 + (4 — 0)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
\[ AC = \sqrt{(-2 — 8)^2 + (-3 — 7)^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]
3. Площадь ромба:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 20 \times 2 = 40 \, \text{кв. ед.} \]
Ответ: \( S_{ABCD} = 40 \, \text{кв. ед.} \)
Дано: четырехугольник ABCD с координатами A(-2; -3), B(1; 4), C(8; 7), D(5; 0). Требуется доказать, что ABCD — ромб, и найти площадь \( S_{ABCD} \).
1. Вычисление длин сторон:
Для нахождения длины стороны используем формулу расстояния между двумя точками:
\[ d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \]
AB:
\[ AB = \sqrt{(-2 — 1)^2 + (-3 — 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.62 \]
BC:
\[ BC = \sqrt{(1 — 8)^2 + (4 — 7)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \approx 7.62 \]
CD:
\[ CD = \sqrt{(8 — 5)^2 + (7 — 0)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \approx 7.62 \]
AD:
\[ AD = \sqrt{(-2 — 5)^2 + (-3 — 0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \approx 7.62 \]
Поскольку AB = BC = CD = AD, то ABCD — ромб.
2. Вычисление диагоналей:
BD:
\[ BD = \sqrt{(1 — 5)^2 + (4 — 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \]
AC:
\[ AC = \sqrt{(-2 — 8)^2 + (-3 — 7)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \]
3. Вычисление площади ромба:
Площадь ромба можно найти по формуле через диагонали:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times AC \times BD \]
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 40 \times 2 = 40 \, \text{кв. ед.} \]
Ответ: \( S_{ABCD} = 40 \, \text{кв. ед.} \)
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.