ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 997 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), B (0; 5), С (−3; 2), D (0; −1), является квадратом.

Дано: четырехугольник ABCD с координатами A(3; 2), B(0; 5), C(-3; 2), D(0; -1)

Найдем координаты середины отрезков M, N и K.

Координаты точки M (середина AB):
\( x_M = \frac{3 + 0}{2} = 1.5 \)
\( y_M = \frac{2 + 5}{2} = 3.5 \)
Координаты M: (1.5; 3.5)

Координаты точки N (середина BC):
\( x_N = \frac{0 — 3}{2} = -1.5 \)
\( y_N = \frac{5 + 2}{2} = 3.5 \)
Координаты N: (-1.5; 3.5)

Координаты точки K (середина AC):
\( x_K = \frac{3 — 3}{2} = 0 \)
\( y_K = \frac{2 + 2}{2} = 2 \)
Координаты K: (0; 2)

Теперь найдем длины отрезков BK, MN, MK и NK.

Длина отрезка BK:
\( BK = \sqrt{(0 — 0)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16} = 4 \)

Длина отрезка MN:
\( MN = \sqrt{(1.5 + 1.5)^2 + (3.5 — 3.5)^2} = \sqrt{9} = 3 \)

Длина отрезка MK:
\( MK = \sqrt{(1.5 — 0)^2 + (3.5 — 2)^2} = \sqrt{2.25 + 2.25} = \sqrt{4.5} \approx 2.12 \)

Длина отрезка NK:
\( NK = \sqrt{(-1.5 — 0)^2 + (3.5 — 2)^2} = \sqrt{2.25 + 2.25} = \sqrt{4.5} \approx 2.12 \)

Таким образом, мы нашли координаты точек M, N, K и длины отрезков BK, MN, MK, NK.

Дано: четырехугольник ABCD с координатами A(3; 2), B(0; 5), C(-3; 2), D(0; -1).

Найдем координаты середины отрезков M, N и K.

1. Координаты точки M (середина AB):
— Используем формулу для нахождения средней точки: \( x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
— \( x_M = \frac{3 + 0}{2} = 1.5 \)
— \( y_M = \frac{2 + 5}{2} = 3.5 \)
— Координаты M: (1.5; 3.5)

2. Координаты точки N (середина BC):
— \( x_N = \frac{0 — 3}{2} = -1.5 \)
— \( y_N = \frac{5 + 2}{2} = 3.5 \)
— Координаты N: (-1.5; 3.5)

3. Координаты точки K (середина AC):
— \( x_K = \frac{3 — 3}{2} = 0 \)
— \( y_K = \frac{2 + 2}{2} = 2 \)
— Координаты K: (0; 2)

Теперь найдем длины отрезков BK, MN, MK и NK.

1. Длина отрезка BK:
— Используем формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \)
— \( BK = \sqrt{(0 — 0)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16} = 4 \)

2. Длина отрезка MN:
— \( MN = \sqrt{(1.5 + 1.5)^2 + (3.5 — 3.5)^2} = \sqrt{9} = 3 \)

3. Длина отрезка MK:
— \( MK = \sqrt{(1.5 — 0)^2 + (3.5 — 2)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{2.25 + 2.25} = \)

\(= \sqrt{4.5} \approx 2.12 \)

4. Длина отрезка NK:
— \( NK = \sqrt{(-1.5 — 0)^2 + (3.5 — 2)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.12 \)

Таким образом, мы нашли координаты точек M, N, K и длины отрезков BK, MN, MK, NK.