ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 996 Атанасян — Подробные Ответы

Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−5; 13), В (3; 5), C (−3; −1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

Для нахождения координат середины отрезка используем формулу средней точки: \((x, y) = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\).

1. Найдем координаты точки \(M\), середины \(AB\):
\[
x_M = \frac{-5 + 3}{2} = -1, \quad y_M = \frac{13 + 5}{2} = 9
\]
Таким образом, \(M(-1; 9)\).

2. Найдем координаты точки \(N\), середины \(BC\):
\[
x_N = \frac{3 — 3}{2} = 0, \quad y_N = \frac{5 — 1}{2} = 2
\]
Таким образом, \(N(0; 2)\).

3. Найдем координаты точки \(K\), середины \(AC\):
\[
x_K = \frac{-5 — 3}{2} = -4, \quad y_K = \frac{13 — 1}{2} = 6
\]
Таким образом, \(K(-4; 6)\).

Для нахождения длины отрезка используем формулу расстояния между двумя точками: \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).

1. Длина \(BK\):
\[
BK = \sqrt{(3 + 4)^2 + (5 — 6)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

2. Длина \(MN\):
\[
MN = \sqrt{(-1 — 0)^2 + (9 — 2)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

3. Длина \(MK\):
\[
MK = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (9 — 6)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}
\]

4. Длина \(NK\):
\[
NK = \sqrt{(0 + 4)^2 + (2 — 6)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]

Ответы:
— Координаты: \(M(-1; 9)\), \(N(0; 2)\), \(K(-4; 6)\).
— Длины: \(BK = 5\sqrt{2}\), \(MN = 5\sqrt{2}\), \(MK = 3\sqrt{2}\), \(NK = 4\sqrt{2}\).

Для решения задачи найдем координаты середины каждой стороны треугольника и длины указанных отрезков.

Координаты середины отрезка M (середина AB)

Формула для нахождения средней точки:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Подставим координаты точек A(-5; 13) и B(3; 5):
\[ x_M = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
\[ y_M = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

Таким образом, координаты точки M: (-1; 9).

Координаты середины отрезка N (середина BC)

Подставим координаты точек B(3; 5) и C(-3; -1):
\[ x_N = \frac{3 — 3}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
\[ y_N = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Таким образом, координаты точки N: (0; 2).

Координаты середины отрезка K (середина AC)

Подставим координаты точек A(-5; 13) и C(-3; -1):
\[ x_K = \frac{-5 — 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
\[ y_K = \frac{13 — 1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Таким образом, координаты точки K: (-4; 6).

Длина отрезка BK

Используем формулу расстояния между двумя точками:
\[ d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \]

Для точек B(3; 5) и K(-4; 6):
\[ BK = \sqrt{(-4 — 3)^2 + (6 — 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Длина отрезка MN

Для точек M(-1; 9) и N(0; 2):
\[ MN = \sqrt{(0 — (-1))^2 + (2 — 9)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Длина отрезка MK

Для точек M(-1; 9) и K(-4; 6):
\[ MK = \sqrt{(-4 — (-1))^2 + (6 — 9)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Длина отрезка NK

Для точек N(0; 2) и K(-4; 6):
\[ NK = \sqrt{(-4 — 0)^2 + (6 — 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Ответы:
Координаты: M(-1; 9), N(0; 2), K(-4; 6).
Длины: BK = 5√2, MN = 5√2, MK = 3√2, NK = 4√2.