ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 988 Атанасян — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. Найдите такое число \(x\) (если это возможно), чтобы векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) были коллинеарны:

а) \(\vec{p} = 2\vec{a} — \vec{b}\), \(\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\);

б) \(\vec{p} = x\vec{a} — \vec{b}\), \(\vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\);

в) \(\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}\), \(\vec{q} = \vec{a} — 2\vec{b}\);

г) \(\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}\).

Дано: \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. Найти \(x\), чтобы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) были коллинеарны.

1. Случай а)
\(\vec{p} = 2\vec{a} — \vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\).
Условие коллинеарности:
\(\frac{2}{1} = \frac{1}{x}\).
Решаем:
\(2x = -1\), отсюда \(x = -\frac{1}{2}\), что равно \(-0,5\).

2. Случай б)
\(\vec{p} = x\vec{a} — \vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\).
Условие:
\(\frac{x}{1} = \frac{1}{x}\).
Решаем:
\(x^2 = -1\).
Нет решений, так как \(x^2 \geq 0\) для вещественных \(x\).

3. Случай в)
\(\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} — 2\vec{b}\).
Условие:
\(\frac{1}{x} = \frac{1}{-2}\).
Решаем:
\(x = -2\).

4. Случай г)
\(\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}, \quad \vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}\).
Условие:
\(\frac{2}{1} = \frac{x}{1}\).
Решаем:
\(x = 2\).

Ответ:
а) \(x = -\frac{1}{2}\) или \(-0,5\);
б) решений нет;
в) \(x = -2\);
г) \(x = 2\).

Дано: \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. Найти \(x\), чтобы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) были коллинеарны.

Для коллинеарности векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\), они должны быть пропорциональны, то есть \(\vec{p} = k\vec{q}\) для некоторого числа \(k\).

Случай а)
\(\vec{p} = 2\vec{a} — \vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\).
Условие коллинеарности: \(\frac{2}{1} = \frac{1}{x}\).
Пропорция показывает, что коэффициенты при \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) должны быть равны.
Решаем уравнение: \(2x = -1\).
Тогда \(x = -\frac{1}{2}\), что равно \(-0,5\).

Случай б)
\(\vec{p} = x\vec{a} — \vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} + x\vec{b}\).
Условие коллинеарности: \(\frac{x}{1} = \frac{1}{x}\).
Пропорция дает уравнение: \(x^2 = -1\).
Нет решений, так как \(x^2 \geq 0\) для вещественных \(x\).

Случай в)
\(\vec{p} = \vec{a} + x\vec{b}, \quad \vec{q} = \vec{a} — 2\vec{b}\).
Условие коллинеарности: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{-2}\).
Пропорция дает уравнение: \(x = -2\).

Случай г)
\(\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}, \quad \vec{q} = x\vec{a} + \vec{b}\).
Условие коллинеарности: \(\frac{2}{1} = \frac{x}{1}\).
Пропорция дает уравнение: \(x = 2\).

Таким образом, решение для каждого случая:

а) \(x = -0,5\) или \(-\frac{1}{2}\);
б) решений нет;
в) \(x = -2\);
г) \(x = 2\).