Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 986 Атанасян — Подробные Ответы
Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
(AM² + DM²) — (BM² + CM²) = 2AB².
Дано: ABCD — прямоугольник. Найти множество всех точек М, для которых (AM² + DM²) — (BM² + CM²) = 2AB².
Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), D(a; 0), B(0; b), C(a; b), M(x; y).
2) Выразим расстояния:
AM² = x² + y²,
BM² = x² + (b — y)²,
DM² = (a — x)² + y²,
CM² = (a — x)² + (b — y)²,
AB² = b².
3) Подставим в условие:
(x² + y² + (a — x)² + y²) — (x² + (b — y)² + (a — x)² + (b — y)²) = 2b².
4) Упростим выражение:
x² + y² + a² — 2ax + x² + y² — x² — b² + 2by — y² — a² + 2ax — x² — b² + 2by — y² = 2b²,
-2b² + 4by = 2b²,
4by = 4b²,
y = b.
5) Множество всех точек М — это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку B.
Ответ: Множество точек М — прямая y = b.
Дано: ABCD — прямоугольник. Найти множество всех точек М, для которых (AM² + DM²) — (BM² + CM²) = 2AB².
Решение:
1) Введем систему координат:
— Пусть точка A имеет координаты (0; 0).
— Так как ABCD — прямоугольник, то точка D будет иметь координаты (a; 0), точка B — (0; b), точка C — (a; b).
— Точка M имеет координаты (x; y).
2) Выразим квадраты расстояний:
— AM² = (x — 0)² + (y — 0)² = x² + y².
— BM² = (x — 0)² + (y — b)² = x² + (y — b)².
— DM² = (x — a)² + (y — 0)² = (x — a)² + y².
— CM² = (x — a)² + (y — b)² = (x — a)² + (y — b)².
— AB² = (0 — 0)² + (b — 0)² = b².
3) Подставим выражения в условие:
(AM² + DM²) — (BM² + CM²) = 2AB²,
(x² + y² + (x — a)² + y²) — (x² + (y — b)² + (x — a)² + (y — b)²) = 2b².
4) Раскроем скобки и упростим выражение:
x² + y² + (x — a)² + y² — x² — (y — b)² — (x — a)² — (y — b)² = 2b².
Упростим:
x² + y² + x² — 2ax + a² + y² — x² — y² + 2by — b² — x² + 2ax — a² — y² + 2by — b² = 2b².
Сократим подобные члены:
(x² + x² — x² — x²) + (y² + y² — y² — y²) + (-2ax + 2ax) + (a² — a²) + (2by + 2by) + (-b² — b²) = 2b².
Получаем:
0 + 0 + 0 + 0 + 4by — 2b² = 2b².
5) Решим уравнение:
4by — 2b² = 2b²,
4by = 4b²,
y = b.
6) Интерпретация результата:
Уравнение y = b задает прямую, параллельную оси OX и проходящую через точку B(0; b).
Ответ: Множество всех точек М — это прямая, заданная уравнением y = b.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.