Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 985 Атанасян — Подробные Ответы
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ² — АМ² = 2АВ².
Дано: точки А и В, \( BM^2 — AM^2 = 2AB^2 \).
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y).
2) Выразим расстояния:
\( BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \),
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( AB^2 = a^2 \).
3) Подставим в условие:
\( BM^2 — AM^2 = 2AB^2 \),
\( (a — x)^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 2a^2 \).
4) Упростим:
\( a^2 — 2ax + x^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 2a^2 \),
\( -2ax = a^2 \),
\( x = -\frac{a}{2} \).
5) Множество точек М — это прямая \( x = -\frac{a}{2} \), перпендикулярная АВ и проходящая через точку, симметричную середине АВ.
Ответ: Множество точек М — прямая \( x = -\frac{a}{2} \).
Дано: точки А и В, \( BM^2 — AM^2 = 2AB^2 \).
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат:
— Пусть точка А имеет координаты (0; 0).
— Точка В лежит на оси OX, её координаты (a; 0), где a — расстояние между точками А и В.
— Точка М имеет координаты (x; y).
2) Выразим расстояния через координаты:
— Расстояние BM: \( BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \), следовательно, \( BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \).
— Расстояние AM: \( AM = \sqrt{x^2 + y^2} \), следовательно, \( AM^2 = x^2 + y^2 \).
— Расстояние AB: \( AB = a \), следовательно, \( AB^2 = a^2 \).
3) Подставим выражения для \( BM^2 \), \( AM^2 \) и \( AB^2 \) в условие задачи:
\( BM^2 — AM^2 = 2AB^2 \),
\( (x — a)^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 2a^2 \).
4) Раскроем скобки и упростим выражение:
\( x^2 — 2ax + a^2 + y^2 — x^2 — y^2 = 2a^2 \),
\( -2ax + a^2 = 2a^2 \).
5) Перенесем все члены в одну сторону и выразим x:
\( -2ax = 2a^2 — a^2 \),
\( -2ax = a^2 \),
\( x = -\frac{a^2}{2a} \),
\( x = -\frac{a}{2} \).
6) Анализируем полученное уравнение:
— Уравнение \( x = -\frac{a}{2} \) задает вертикальную прямую, параллельную оси OY.
— Все точки М, удовлетворяющие условию задачи, лежат на этой прямой.
7) Итоговое множество точек М:
— Если \( a \neq 0 \), то множество точек М — это прямая \( x = -\frac{a}{2} \), перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через точку, симметричную середине АВ относительно точки А.
— Если \( a = 0 \), то точки А и В совпадают, и условие задачи принимает вид \( BM^2 — AM^2 = 0 \), что выполняется для всех точек М, так как \( BM = AM \).
Ответ: Множество точек М — это прямая \( x = -\frac{a}{2} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.