ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 984 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ2 — ВМ2 = k, где к — данное число.
Решение
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (a; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (x; у) до точек А и B: AM=\x2+y2, BM=\(x-a)2+y2.
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ2 — ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению x2 + у2 — (x — а)2 — y2 = k, или Гах — а2 — k=0.
Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, по- лученное уравнение является уравнением искомого множе- ства точек. Но этим уравнением определяется прямая, парал- лельная оси Оу, если a2 + k +0, и сама ось Оу, если a2 + k =0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

Дано: точки А и В, k — данное число, \[ AM^2 — BM^2 = k \].
Найти: множество точек М.

Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y), AB = a.
2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
\[ AM^2 = x^2 + y^2 \],
\[ BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \].
3) Подставим в условие задачи:
\[ AM^2 — BM^2 = k \],
\[ x^2 + y^2 — (x — a)^2 — y^2 = k \].
4) Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + y^2 — x^2 + 2ax — a^2 — y^2 = k \],
\[ 2ax — a^2 = k \].
5) Выразим x:
\[ 2ax = a^2 + k \],
\[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \].
6) Множество всех точек М — это прямая, параллельная оси OY, заданная уравнением \[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \].

Ответ: Множество точек М — прямая \[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \].

Дано: точки А и В, k — данное число, \[ AM^2 — BM^2 = k \].
Найти: множество точек М.

Решение:

1) Введем систему координат:
— Пусть точка А имеет координаты (0; 0).
— Точка В лежит на оси OX, её координаты (a; 0), где a — расстояние между точками А и В.
— Точка М имеет координаты (x; y).

2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
— Расстояние AM: \[ AM = \sqrt{x^2 + y^2} \], следовательно, \[ AM^2 = x^2 + y^2 \].
— Расстояние BM: \[ BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \], следовательно, \[ BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \].

3) Подставим выражения для \[ AM^2 \] и \[ BM^2 \] в условие задачи:
\[ AM^2 — BM^2 = k \],
\[ x^2 + y^2 — (x — a)^2 — y^2 = k \].

4) Раскроем скобки и упростим выражение:
\[ x^2 + y^2 — x^2 + 2ax — a^2 — y^2 = k \],
\[ 2ax — a^2 = k \].

5) Выразим x:
\[ 2ax = a^2 + k \],
\[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \].

6) Анализируем полученное уравнение:
— Уравнение \[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \] задает вертикальную прямую, параллельную оси OY.
— Все точки М, удовлетворяющие условию задачи, лежат на этой прямой.

7) Итоговое множество точек М:
— Если \[ a \neq 0 \], то множество точек М — это прямая \[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \].
— Если \[ a = 0 \], то точки А и В совпадают, и условие задачи принимает вид \[ AM^2 — BM^2 = k \], что невозможно, так как \[ AM = BM \].

Ответ: Множество точек М — это прямая \[ x = \frac{a^2 + k}{2a} \], параллельная оси OY.