ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 984 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ2 — ВМ2 = k, где к — данное число.
Решение
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (a; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (x; у) до точек А и B: AM=\x2+y2, BM=\(x-a)2+y2.
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ2 — ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению x2 + у2 — (x — а)2 — y2 = k, или Гах — а2 — k=0.
Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, по- лученное уравнение является уравнением искомого множе- ства точек. Но этим уравнением определяется прямая, парал- лельная оси Оу, если a2 + k +0, и сама ось Оу, если a2 + k =0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 — BM^2 = k \).
Найти: множество точек М.

Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y), AB = a.
2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \).
3) Подставим в условие задачи:
\( AM^2 — BM^2 = k \),
\( x^2 + y^2 — (x — a)^2 — y^2 = k \).
4) Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 + y^2 — x^2 + 2ax — a^2 — y^2 = k \),
\( 2ax — a^2 = k \).
5) Выразим x:
\( 2ax = a^2 + k \),
\( x = \frac{a^2 + k}{2a} \).
6) Множество всех точек М — это прямая, параллельная оси OY, заданная уравнением \( x = \frac{a^2 + k}{2a} \).

Ответ: Множество точек М — прямая \( x = \frac{a^2 + k}{2a} \).

Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 — BM^2 = k \).
Найти: множество точек М.

Решение:

1) Введем систему координат:
— Пусть точка А имеет координаты (0; 0).
— Точка В лежит на оси OX, её координаты (a; 0), где a — расстояние между точками А и В.
— Точка М имеет координаты (x; y).

2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
— Расстояние AM: \( AM = \sqrt{x^2 + y^2} \), следовательно, \( AM^2 = x^2 + y^2 \).
— Расстояние BM: \( BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \), следовательно, \( BM^2 = (x — a)^2 + y^2 \).

3) Подставим выражения для \( AM^2 \) и \( BM^2 \) в условие задачи:
\( AM^2 — BM^2 = k \),
\( x^2 + y^2 — (x — a)^2 — y^2 = k \).

4) Раскроем скобки и упростим выражение:
\( x^2 + y^2 — x^2 + 2ax — a^2 — y^2 = k \),
\( 2ax — a^2 = k \).

5) Выразим x:
\( 2ax = a^2 + k \),
\( x = \frac{a^2 + k}{2a} \).

6) Анализируем полученное уравнение:
— Уравнение \( x = \frac{a^2 + k}{2a} \) задает вертикальную прямую, параллельную оси OY.
— Все точки М, удовлетворяющие условию задачи, лежат на этой прямой.

7) Итоговое множество точек М:
— Если \( a \neq 0 \), то множество точек М — это прямая \( x = \frac{a^2 + k}{2a} \).
— Если \( a = 0 \), то точки А и В совпадают, и условие задачи принимает вид \( AM^2 — BM^2 = k \), что невозможно, так как \( AM = BM \).

Ответ: Множество точек М — это прямая \( x = \frac{a^2 + k}{2a} \), параллельная оси OY.