Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 983 Атанасян — Подробные Ответы
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ2 + ВМ2 = k2, где к — данное число.
Дано: точки А и В, k — данное число, \[ AM^2 + BM^2 = k^2 \].
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y).
\[ AM^2 = x^2 + y^2 \],
\[ BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \].
2) Подставляем в условие:
\[ x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \],
\[ 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \],
\[ 2\left(x^2 — ax + \frac{a^2}{4}\right) + 2y^2 = k^2 — a^2 + \frac{a^2}{2} \],
\[ 2\left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + 2y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{2} \],
\[ \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \].
3) Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\[ R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \], при условии \[ 2k^2 — a^2 \geq 0 \].
Дано: точки А и В, k — данное число, \[ AM^2 + BM^2 = k^2 \].
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат:
Пусть точка А имеет координаты (0; 0), точка В — (a; 0), а точка М — (x; y).
2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
\[ AM^2 = x^2 + y^2 \],
\[ BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \].
3) Подставим в условие задачи:
\[ AM^2 + BM^2 = k^2 \],
\[ x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \].
4) Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + y^2 + a^2 — 2ax + x^2 + y^2 = k^2 \],
\[ 2x^2 + 2y^2 — 2ax + a^2 = k^2 \].
5) Перенесем все члены в одну сторону:
\[ 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \].
6) Разделим обе части уравнения на 2:
\[ x^2 + y^2 — ax = \frac{k^2 — a^2}{2} \].
7) Выделим полный квадрат для переменной x:
\[ x^2 — ax = \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} \].
8) Подставим обратно в уравнение:
\[ \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} \].
9) Перенесем свободный член в правую часть:
\[ \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} + \frac{a^2}{4} \],
\[ \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — 2a^2 + a^2}{4} \],
\[ \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \].
10) Полученное уравнение описывает окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\[ R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \].
11) Условие существования окружности:
\[ 2k^2 — a^2 \geq 0 \],
\[ k^2 \geq \frac{a^2}{2} \].
Ответ: Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом \( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \), при условии \( k^2 \geq \frac{a^2}{2} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.