Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 983 Атанасян — Подробные Ответы
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ2 + ВМ2 = k2, где к — данное число.
Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 + BM^2 = k^2 \).
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y).
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \).
2) Подставляем в условие:
\( x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \),
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \),
\( 2\left(x^2 — ax + \frac{a^2}{4}\right) + 2y^2 = k^2 — a^2 + \frac{a^2}{2} \),
\( 2\left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + 2y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{2} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \).
3) Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \), при условии \( 2k^2 — a^2 \geq 0 \).
Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 + BM^2 = k^2 \).
Найти: множество точек М.
Решение:
1) Введем систему координат:
Пусть точка А имеет координаты (0; 0), точка В — (a; 0), а точка М — (x; y).
2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \).
3) Подставим в условие задачи:
\( AM^2 + BM^2 = k^2 \),
\( x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \).
4) Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 + y^2 + a^2 — 2ax + x^2 + y^2 = k^2 \),
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax + a^2 = k^2 \).
5) Перенесем все члены в одну сторону:
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \).
6) Разделим обе части уравнения на 2:
\( x^2 + y^2 — ax = \frac{k^2 — a^2}{2} \).
7) Выделим полный квадрат для переменной x:
\( x^2 — ax = \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} \).
8) Подставим обратно в уравнение:
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} \).
9) Перенесем свободный член в правую часть:
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} + \frac{a^2}{4} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — 2a^2 + a^2}{4} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \).
10) Полученное уравнение описывает окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \).
11) Условие существования окружности:
\( 2k^2 — a^2 \geq 0 \),
\( k^2 \geq \frac{a^2}{2} \).
Ответ: Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом \( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \), при условии \( k^2 \geq \frac{a^2}{2} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.