ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 983 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ2 + ВМ2 = k2, где к — данное число.

Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 + BM^2 = k^2 \).
Найти: множество точек М.

Решение:
1) Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y).
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \).

2) Подставляем в условие:
\( x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \),
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \),
\( 2\left(x^2 — ax + \frac{a^2}{4}\right) + 2y^2 = k^2 — a^2 + \frac{a^2}{2} \),
\( 2\left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + 2y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{2} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \).

3) Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \), при условии \( 2k^2 — a^2 \geq 0 \).

Дано: точки А и В, k — данное число, \( AM^2 + BM^2 = k^2 \).
Найти: множество точек М.

Решение:

1) Введем систему координат:
Пусть точка А имеет координаты (0; 0), точка В — (a; 0), а точка М — (x; y).

2) Выразим расстояния AM и BM через координаты:
\( AM^2 = x^2 + y^2 \),
\( BM^2 = (a — x)^2 + y^2 \).

3) Подставим в условие задачи:
\( AM^2 + BM^2 = k^2 \),
\( x^2 + y^2 + (a — x)^2 + y^2 = k^2 \).

4) Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 + y^2 + a^2 — 2ax + x^2 + y^2 = k^2 \),
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax + a^2 = k^2 \).

5) Перенесем все члены в одну сторону:
\( 2x^2 + 2y^2 — 2ax = k^2 — a^2 \).

6) Разделим обе части уравнения на 2:
\( x^2 + y^2 — ax = \frac{k^2 — a^2}{2} \).

7) Выделим полный квадрат для переменной x:
\( x^2 — ax = \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} \).

8) Подставим обратно в уравнение:
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 — \frac{a^2}{4} + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} \).

9) Перенесем свободный член в правую часть:
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{k^2 — a^2}{2} + \frac{a^2}{4} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — 2a^2 + a^2}{4} \),
\( \left(x — \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{2k^2 — a^2}{4} \).

10) Полученное уравнение описывает окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом
\( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \).

11) Условие существования окружности:
\( 2k^2 — a^2 \geq 0 \),
\( k^2 \geq \frac{a^2}{2} \).

Ответ: Множество всех точек М — это окружность с центром в точке \(\left(\frac{a}{2}; 0\right)\) и радиусом \( R = \sqrt{\frac{2k^2 — a^2}{4}} \), при условии \( k^2 \geq \frac{a^2}{2} \).