Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 982 Атанасян — Подробные Ответы
Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:
a)\[ AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50 \];
б)\[ AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4 \].
Дано: BE ⊥ AC; AB = BC; AC = 2.
Найти: множество точек M.
Решение:
а) Введем систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).
Вычислим квадраты расстояний:
\[ AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \]
\[ BM^2 = x^2 + y^2, \]
\[ CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \]
Сумма квадратов расстояний:
\[ AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50. \]
Подставим выражения:
\[ (x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x — 1)^2 + y^2 = 50. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 + x^2 + y^2 + x^2 — 2x + 1 + y^2 = 50. \]
Упростим:
\[ 3x^2 + 3y^2 = 48. \]
Разделим на 3:
\[ x^2 + y^2 = 16. \]
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.
б) Введем систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).
Вычислим квадраты расстояний:
\[ AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \]
\[ BM^2 = x^2 + y^2, \]
\[ CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \]
Сумма с коэффициентами:
\[ AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4. \]
Подставим выражения:
\[ (x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3((x — 1)^2 + y^2) = 4. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 3y^2 = 4. \]
Упростим:
\[ 6x^2 — 4x + 6y^2 = 0. \]
Разделим на 2:
\[ 3x^2 — 2x + 3y^2 = 0. \]
Выделим полный квадрат для x:
\[ 3\left(x^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) + 3y^2 = \frac{1}{3}. \]
Упростим:
\[ 3\left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}. \]
Разделим на 3:
\[ \left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}. \]
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).
Дано: BE ⊥ AC; AB = BC; AC = 2.
Найти: множество точек M.
Решение:
а) Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка A имела координаты (-1; 0), точка C — (1; 0), а точка B — (0; 0), так как AB = BC и AC = 2. Пусть точка M имеет координаты (x; y).
Вычислим квадраты расстояний от точки M до точек A, B и C:
\[ AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \]
\[ BM^2 = x^2 + y^2, \]
\[ CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \]
По условию задачи сумма квадратов расстояний равна 50:
\[ AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50. \]
Подставим выражения для AM², BM² и CM²:
\[ (x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x — 1)^2 + y^2 = 50. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 + x^2 + y^2 + x^2 — 2x + 1 + y^2 = 50. \]
Сгруппируем подобные члены:
\[ 3x^2 + 3y^2 + 2 = 50. \]
Перенесем свободный член в правую часть:
\[ 3x^2 + 3y^2 = 48. \]
Разделим обе части уравнения на 3:
\[ x^2 + y^2 = 16. \]
Это уравнение окружности с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.
б) Введем ту же систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).
Вычислим квадраты расстояний:
\[ AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \]
\[ BM^2 = x^2 + y^2, \]
\[ CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \]
По условию задачи сумма с коэффициентами равна 4:
\[ AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4. \]
Подставим выражения для AM², BM² и CM²:
\[ (x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3((x — 1)^2 + y^2) = 4. \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 3y^2 = 4. \]
Сгруппируем подобные члены:
\[ 6x^2 — 4x + 6y^2 + 4 = 4. \]
Перенесем свободный член в правую часть:
\[ 6x^2 — 4x + 6y^2 = 0. \]
Разделим обе части уравнения на 2:
\[ 3x^2 — 2x + 3y^2 = 0. \]
Выделим полный квадрат для переменной x:
\[ 3\left(x^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) + 3y^2 = \frac{1}{3}. \]
Упростим:
\[ 3\left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}. \]
Разделим обе части уравнения на 3:
\[ \left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}. \]
Это уравнение окружности с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.