ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 982 Атанасян — Подробные Ответы

Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:
a)\( AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50 \);
б)\( AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4 \).

Дано: BE ⊥ AC; AB = BC; AC = 2.
Найти: множество точек M.

Решение:
а) Введем систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).
Вычислим квадраты расстояний:
\( AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \)
\( BM^2 = x^2 + y^2, \)
\( CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \)
Сумма квадратов расстояний:
\( AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50. \)
Подставим выражения:
\( (x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x — 1)^2 + y^2 = 50. \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 2x + 1 + y^2 + x^2 + y^2 + x^2 — 2x + 1 + y^2 = 50. \)
Упростим:
\( 3x^2 + 3y^2 = 48. \)
Разделим на 3:
\( x^2 + y^2 = 16. \)
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.

б) Введем систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).
Вычислим квадраты расстояний:
\( AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \)
\( BM^2 = x^2 + y^2, \)
\( CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \)
Сумма с коэффициентами:
\( AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4. \)
Подставим выражения:
\( (x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3((x — 1)^2 + y^2) = 4. \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 3y^2 = 4. \)
Упростим:
\( 6x^2 — 4x + 6y^2 = 0. \)
Разделим на 2:
\( 3x^2 — 2x + 3y^2 = 0. \)
Выделим полный квадрат для x:
\( 3\left(x^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) + 3y^2 = \frac{1}{3}. \)
Упростим:
\( 3\left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}. \)
Разделим на 3:
\( \left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}. \)
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).

Дано: BE ⊥ AC; AB = BC; AC = 2.
Найти: множество точек M.

Решение:
а) Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка A имела координаты (-1; 0), точка C — (1; 0), а точка B — (0; 0), так как AB = BC и AC = 2. Пусть точка M имеет координаты (x; y).

Вычислим квадраты расстояний от точки M до точек A, B и C:
\( AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \)
\( BM^2 = x^2 + y^2, \)
\( CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \)

По условию задачи сумма квадратов расстояний равна 50:
\( AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50. \)

Подставим выражения для AM², BM² и CM²:
\( (x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x — 1)^2 + y^2 = 50. \)

Раскроем скобки:
\( x^2 + 2x + 1 + y^2 + x^2 + y^2 + x^2 — 2x + 1 + y^2 = 50. \)

Сгруппируем подобные члены:
\( 3x^2 + 3y^2 + 2 = 50. \)

Перенесем свободный член в правую часть:
\( 3x^2 + 3y^2 = 48. \)

Разделим обе части уравнения на 3:
\( x^2 + y^2 = 16. \)

Это уравнение окружности с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.

Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке B(0; 0) и радиусом 4.

б) Введем ту же систему координат: A(-1; 0), C(1; 0), B(0; 0), M(x; y).

Вычислим квадраты расстояний:
\( AM^2 = (x + 1)^2 + y^2, \)
\( BM^2 = x^2 + y^2, \)
\( CM^2 = (x — 1)^2 + y^2. \)

По условию задачи сумма с коэффициентами равна 4:
\( AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4. \)

Подставим выражения для AM², BM² и CM²:
\( (x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3((x — 1)^2 + y^2) = 4. \)

Раскроем скобки:
\( x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 — 6x + 3 + 3y^2 = 4. \)

Сгруппируем подобные члены:
\( 6x^2 — 4x + 6y^2 + 4 = 4. \)

Перенесем свободный член в правую часть:
\( 6x^2 — 4x + 6y^2 = 0. \)

Разделим обе части уравнения на 2:
\( 3x^2 — 2x + 3y^2 = 0. \)

Выделим полный квадрат для переменной x:
\( 3\left(x^2 — \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) + 3y^2 = \frac{1}{3}. \)

Упростим:
\( 3\left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + 3y^2 = \frac{1}{3}. \)

Разделим обе части уравнения на 3:
\( \left(x — \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{9}. \)

Это уравнение окружности с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).

Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\frac{1}{3}\).