Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 981 Атанасян — Подробные Ответы
Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для
каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше
расстояния от точки В.
Решение:
1. Введем прямоугольную систему координат: A(0; 0), B(a; 0), где a = AB.
2. Найдем расстояния от произвольной точки M(x; y) до точек A и B:
\[ AM = \sqrt{x^2 + y^2}, \]
\[ BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2}. \]
3. Если точка M(x; y) принадлежит искомому множеству, то AM = 2BM, или AM² = 4BM².
4. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению:
\[ x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2). \]
5. Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2, \]
\[ 0 = 3x^2 — 8ax + 3a^2 + 3y^2, \]
\[ x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0. \]
6. Выделим полный квадрат для x:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2, \]
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2. \]
7. Получаем уравнение окружности:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2. \]
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \[ \left(\frac{4}{3}a; 0\right) \] и радиусом \[ \frac{\sqrt{7}}{3}a \].
Замечание:
Множеством всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса \[ \frac{ka}{|k^2 — 1|} \] с центром в точке \[ \left(\frac{k^2a}{k^2 — 1}; 0\right). \]
Эти окружности называют окружностями Аполлония.
Если k = 1, то множество точек M — серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Дано: точки A и B, AM = 2BM.
Найти: множество точек M.
Решение:
1. Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y), где a = AB.
2. Выразим расстояния:
AM = \[ \sqrt{x^2 + y^2} \], AM² = \[ x^2 + y^2 \].
BM = \[ \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \], BM² = \[ (x — a)^2 + y^2 \].
3. По условию AM = 2BM, значит, AM² = 4BM².
4. Подставим выражения:
\[ x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2) \].
5. Раскроем скобки и упростим:
\[ x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2 \].
\[ 0 = 3x^2 — 8ax + 3a^2 + 3y^2 \].
\[ x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0 \].
6. Выделим полный квадрат для x:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2 \].
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2 \].
7. Получаем уравнение окружности:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2 \].
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \[ \left(\frac{4}{3}a; 0\right) \] и радиусом \[ \frac{\sqrt{7}}{3}a \].
Дано: точки A и B, AM = 2BM.
Найти: множество точек M.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка A имела координаты (0; 0), а точка B — (a; 0), где a = AB. Пусть точка M имеет координаты (x; y).
Найдем расстояния от точки M до точек A и B:
\[ AM = \sqrt{x^2 + y^2}, \]
\[ BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2}. \]
По условию задачи AM = 2BM. Возведем обе части равенства в квадрат:
\[ AM^2 = 4BM^2. \]
Подставим выражения для AM² и BM²:
\[ x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2). \]
Раскроем скобки в правой части:
\[ x^2 + y^2 = 4(x^2 — 2ax + a^2 + y^2). \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2. \]
Перенесем все члены в левую часть:
\[ x^2 + y^2 — 4x^2 + 8ax — 4a^2 — 4y^2 = 0. \]
Сгруппируем подобные члены:
\[ -3x^2 + 8ax — 3a^2 — 3y^2 = 0. \]
Разделим обе части уравнения на -3:
\[ x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0. \]
Выделим полный квадрат для переменной x:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2. \]
Вычислим правую часть:
\[ \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2. \]
Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2. \]
Это уравнение окружности с центром в точке \(\left(\frac{4}{3}a; 0\right)\) и радиусом \(\frac{\sqrt{7}}{3}a\).
Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{4}{3}a; 0\right)\) и радиусом \(\frac{\sqrt{7}}{3}a\).
Замечание:
Если условие задачи имеет вид AM = kBM, где k — положительное число, не равное 1, то множество точек M будет окружностью радиуса \(\frac{ka}{|k^2 — 1|}\) с центром в точке \(\left(\frac{k^2a}{k^2 — 1}; 0\right)\). Эти окружности называются окружностями Аполлония. Если k = 1, то множество точек M — серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.