ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 981 Атанасян — Подробные Ответы

Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек, для
каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше
расстояния от точки В.

Решение:
1. Введем прямоугольную систему координат: A(0; 0), B(a; 0), где a = AB.
2. Найдем расстояния от произвольной точки M(x; y) до точек A и B:
\( AM = \sqrt{x^2 + y^2}, \)
\( BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2}. \)
3. Если точка M(x; y) принадлежит искомому множеству, то AM = 2BM, или AM² = 4BM².
4. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению:
\( x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2). \)
5. Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2, \)
\( 0 = 3x^2 — 8ax + 3a^2 + 3y^2, \)
\( x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0. \)
6. Выделим полный квадрат для x:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2, \)
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2. \)
7. Получаем уравнение окружности:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2. \)

Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \( \left(\frac{4}{3}a; 0\right) \) и радиусом \( \frac{\sqrt{7}}{3}a \).

Замечание:
Множеством всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса \( \frac{ka}{|k^2 — 1|} \) с центром в точке \( \left(\frac{k^2a}{k^2 — 1}; 0\right). \)
Эти окружности называют окружностями Аполлония.
Если k = 1, то множество точек M — серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Дано: точки A и B, AM = 2BM.

Найти: множество точек M.

Решение:
1. Введем систему координат: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y), где a = AB.
2. Выразим расстояния:
AM = \( \sqrt{x^2 + y^2} \), AM² = \( x^2 + y^2 \).
BM = \( \sqrt{(x — a)^2 + y^2} \), BM² = \( (x — a)^2 + y^2 \).
3. По условию AM = 2BM, значит, AM² = 4BM².
4. Подставим выражения:
\( x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2) \).
5. Раскроем скобки и упростим:
\( x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2 \).
\( 0 = 3x^2 — 8ax + 3a^2 + 3y^2 \).
\( x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0 \).
6. Выделим полный квадрат для x:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2 \).
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2 \).
7. Получаем уравнение окружности:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2 \).

Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \( \left(\frac{4}{3}a; 0\right) \) и радиусом \( \frac{\sqrt{7}}{3}a \).

Дано: точки A и B, AM = 2BM.
Найти: множество точек M.

Решение:
Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка A имела координаты (0; 0), а точка B — (a; 0), где a = AB. Пусть точка M имеет координаты (x; y).

Найдем расстояния от точки M до точек A и B:
\( AM = \sqrt{x^2 + y^2}, \)
\( BM = \sqrt{(x — a)^2 + y^2}. \)

По условию задачи AM = 2BM. Возведем обе части равенства в квадрат:
\( AM^2 = 4BM^2. \)

Подставим выражения для AM² и BM²:
\( x^2 + y^2 = 4((x — a)^2 + y^2). \)

Раскроем скобки в правой части:
\( x^2 + y^2 = 4(x^2 — 2ax + a^2 + y^2). \)

Упростим уравнение:
\( x^2 + y^2 = 4x^2 — 8ax + 4a^2 + 4y^2. \)

Перенесем все члены в левую часть:
\( x^2 + y^2 — 4x^2 + 8ax — 4a^2 — 4y^2 = 0. \)

Сгруппируем подобные члены:
\( -3x^2 + 8ax — 3a^2 — 3y^2 = 0. \)

Разделим обе части уравнения на -3:
\( x^2 — \frac{8}{3}ax + a^2 + y^2 = 0. \)

Выделим полный квадрат для переменной x:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2. \)

Вычислим правую часть:
\( \left(\frac{4}{3}a\right)^2 — a^2 = \frac{16}{9}a^2 — a^2 = \frac{7}{9}a^2. \)

Таким образом, уравнение принимает вид:
\( \left(x — \frac{4}{3}a\right)^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2. \)

Это уравнение окружности с центром в точке \(\left(\frac{4}{3}a; 0\right)\) и радиусом \(\frac{\sqrt{7}}{3}a\).

Ответ: Множество точек M — окружность с центром в точке \(\left(\frac{4}{3}a; 0\right)\) и радиусом \(\frac{\sqrt{7}}{3}a\).

Замечание:
Если условие задачи имеет вид AM = kBM, где k — положительное число, не равное 1, то множество точек M будет окружностью радиуса \(\frac{ka}{|k^2 — 1|}\) с центром в точке \(\left(\frac{k^2a}{k^2 — 1}; 0\right)\). Эти окружности называются окружностями Аполлония. Если k = 1, то множество точек M — серединный перпендикуляр к отрезку AB.