Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 971 Атанасян — Подробные Ответы
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (−3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.
Дано: точки А(−3; 0) и В(0; 9), центр окружности лежит на оси ординат. Пусть центр окружности имеет координаты (0; y). Так как точки А и В принадлежат окружности, расстояния от центра до этих точек равны радиусу R.
1. Расстояние от центра до точки А:
\[ \sqrt{(-3 — 0)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{9 + y^2} \]
2. Расстояние от центра до точки В:
\[ \sqrt{(0 — 0)^2 + (9 — y)^2} = \sqrt{(9 — y)^2} \]
3. Приравниваем расстояния:
\[ \sqrt{9 + y^2} = \sqrt{(9 — y)^2} \]
4. Возводим обе части в квадрат:
\[ 9 + y^2 = (9 — y)^2 \]
\[ 9 + y^2 = 81 — 18y + y^2 \]
5. Упрощаем:
\[ 9 = 81 — 18y \]
\[ 18y = 72 \]
\[ y = 4 \]
6. Находим радиус:
\[ R = \sqrt{9 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]
7. Уравнение окружности:
\[ x^2 + (y — 4)^2 = 25 \]
Ответ: \[ x^2 + (y — 4)^2 = 25 \]
Дано: точки А(−3; 0) и В(0; 9), центр окружности лежит на оси ординат. Пусть центр окружности имеет координаты (0; y). Так как точки А и В принадлежат окружности, расстояния от центра до этих точек равны радиусу R.
1. Найдем расстояние от центра до точки А:
\[ OA = \sqrt{(-3 — 0)^2 + (0 — y)^2} = \sqrt{9 + y^2} \]
2. Найдем расстояние от центра до точки В:
\[ OB = \sqrt{(0 — 0)^2 + (9 — y)^2} = \sqrt{(9 — y)^2} \]
3. Поскольку OA = OB = R, приравняем выражения:
\[ \sqrt{9 + y^2} = \sqrt{(9 — y)^2} \]
4. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[ 9 + y^2 = (9 — y)^2 \]
5. Раскроем правую часть:
\[ 9 + y^2 = 81 — 18y + y^2 \]
6. Упростим уравнение, вычитая y² из обеих частей:
\[ 9 = 81 — 18y \]
7. Перенесем 81 в левую часть:
\[ 9 — 81 = -18y \]
\[ -72 = -18y \]
8. Разделим обе части на −18:
\[ y = \frac{-72}{-18} = 4 \]
9. Найдем радиус R, используя координаты точки А:
\[ R = \sqrt{9 + y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
10. Запишем уравнение окружности с центром в точке (0; 4) и радиусом 5:
\[ x^2 + (y — 4)^2 = 25 \]
Ответ: \[ x^2 + (y — 4)^2 = 25 \]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.