Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 969 Атанасян — Подробные Ответы
Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) M (−3; 5), N (7; −3); б) M (2; −1), N (4; 3).
Дано:
а) M(−3; 5), N(7; −3);
б) M(2; −1), N(4; 3).
Решение:
а)
1) MN — диаметр, центр окружности O(x₀; y₀):
\[x₀ = \frac{-3 + 7}{2} = 2\]
\[y₀ = \frac{5 + (-3)}{2} = 1\]
Центр O(2; 1).
2) Радиус R:
\[R = \sqrt{(2 + 3)^2 + (1 — 5)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\]
3) Уравнение окружности:
\[(x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 41\]
б)
1) MN — диаметр, центр окружности O(x₀; y₀):
\[x₀ = \frac{2 + 4}{2} = 3\]
\[y₀ = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]
Центр O(3; 1).
2) Радиус R:
\[R = \sqrt{(3 — 2)^2 + (1 — (-1))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]
3) Уравнение окружности:
\[(x — 3)^2 + (y — 1)^2 = 5\]
Ответ:
а) \[(x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 41\];
б) \[(x — 3)^2 + (y — 1)^2 = 5\].
Дано:
а) Точки M(−3; 5) и N(7; −3);
б) Точки M(2; −1) и N(4; 3).
Решение:
а)
1) Найдем координаты центра окружности O(x₀; y₀), так как MN — диаметр:
\[x₀ = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2\]
\[y₀ = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = 1\]
Центр окружности O(2; 1).
2) Найдем радиус R как расстояние от центра до точки M:
\[R = \sqrt{(x₀ — x_M)^2 + (y₀ — y_M)^2} = \sqrt{(2 — (-3))^2 + (1 — 5)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}\]
3) Запишем уравнение окружности:
\[(x — x₀)^2 + (y — y₀)^2 = R^2\]
\[(x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 41\]
б)
1) Найдем координаты центра окружности O(x₀; y₀), так как MN — диаметр:
\[x₀ = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\]
\[y₀ = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]
Центр окружности O(3; 1).
2) Найдем радиус R как расстояние от центра до точки M:
\[R = \sqrt{(x₀ — x_M)^2 + (y₀ — y_M)^2} = \sqrt{(3 — 2)^2 + (1 — (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]
3) Запишем уравнение окружности:
\[(x — x₀)^2 + (y — y₀)^2 = R^2\]
\[(x — 3)^2 + (y — 1)^2 = 5\]
Ответ:
а) Уравнение окружности: \[(x — 2)^2 + (y — 1)^2 = 41\];
б) Уравнение окружности: \[(x — 3)^2 + (y — 1)^2 = 5\].
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.