Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 960 Атанасян — Подробные Ответы
Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:
а) \(x^2 + y^2 = 25\);
б) \((x — 1)^2 + (y + 3)^2 = 9\);
в) \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 — y^2 = \frac{1}{4}\)?
Для проверки, лежат ли точки на окружности, подставим их координаты в соответствующие уравнения окружностей.
а) \(x^2 + y^2 = 25\)
— Точка \(A(3, -4)\):
\[3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25\]
Верно
— Точка \(C(0, 5)\):
\[0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25\]
Верно
Точки \(A\) и \(C\) лежат на окружности.
б) \((x — 1)^2 + (y + 3)^2 = 9\)
— Точка \(B(1, 0)\):
\((1 — 1)^2 + (0 + 3)^2 = 0 + 9 = 9\)
Верно
Точка \(B\) лежит на окружности.
в) \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 — y^2 = \frac{1}{4}\)
— Точка \(B(1, 0)\):
\(\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 — 0^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
Верно
— Точка \(D(0, 0)\):
\(\left(0 — \frac{1}{2}\right)^2 — 0^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
Верно
Точки \(B\) и \(D\) лежат на окружности.
Ответ:
а) \(A\) и \(C\);
б) \(B\);
в) \(B\) и \(D\).
Для того чтобы определить, какие точки лежат на окружности, заданной каждым из уравнений, подставим координаты точек в уравнения и проверим равенства.
а) Уравнение окружности: \(x^2 + y^2 = 25\)
1. Точка \(A(3, -4)\):
Подставляем \(x = 3\) и \(y = -4\):
\[
3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25
\]
Равенство выполняется, значит, точка \(A\) лежит на окружности.
2. Точка \(B(1, 0)\):
Подставляем \(x = 1\) и \(y = 0\):
\[
1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(B\) не лежит на окружности.
3. Точка \(C(0, 5)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 5\):
\[
0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25
\]
Равенство выполняется, значит, точка \(C\) лежит на окружности.
4. Точка \(D(0, 0)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 0\):
\[
0^2 + 0^2 = 0
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(D\) не лежит на окружности.
5. Точка \(E(0, 1)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 1\):
\[
0^2 + 1^2 = 1
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(E\) не лежит на окружности.
Вывод: На окружности лежат точки \(A\) и \(C\).
б) Уравнение окружности: \((x — 1)^2 + (y + 3)^2 = 9\)
1. Точка \(A(3, -4)\):
Подставляем \(x = 3\) и \(y = -4\):
\[
(3 — 1)^2 + (-4 + 3)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(A\) не лежит на окружности.
2. Точка \(B(1, 0)\):
Подставляем \(x = 1\) и \(y = 0\):
\[
(1 — 1)^2 + (0 + 3)^2 = 0 + 9 = 9
\]
Равенство выполняется, значит, точка \(B\) лежит на окружности.
3. Точка \(C(0, 5)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 5\):
\[
(0 — 1)^2 + (5 + 3)^2 = 1 + 64 = 65
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(C\) не лежит на окружности.
4. Точка \(D(0, 0)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 0\):
\[
(0 — 1)^2 + (0 + 3)^2 = 1 + 9 = 10
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(D\) не лежит на окружности.
5. Точка \(E(0, 1)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 1\):
\[
(0 — 1)^2 + (1 + 3)^2 = 1 + 16 = 17
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(E\) не лежит на окружности.
Вывод: На окружности лежит точка \(B\).
в) Уравнение гиперболы: \(\left(x — \frac{1}{2}\right)^2 — y^2 = \frac{1}{4}\)
1. Точка \(A(3, -4)\):
Подставляем \(x = 3\) и \(y = -4\):
\[
\left(3 — \frac{1}{2}\right)^2 — (-4)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 — 16 = \frac{25}{4} — 16 = \frac{25}{4} — \frac{64}{4} = -\frac{39}{4}
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(A\) не лежит на гиперболе.
2. Точка \(B(1, 0)\):
Подставляем \(x = 1\) и \(y = 0\):
\[
\left(1 — \frac{1}{2}\right)^2 — 0^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
Равенство выполняется, значит, точка \(B\) лежит на гиперболе.
3. Точка \(C(0, 5)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 5\):
\[
\left(0 — \frac{1}{2}\right)^2 — 5^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — 25 = \frac{1}{4} — 25 = \frac{1}{4} — \frac{100}{4} = -\frac{99}{4}
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(C\) не лежит на гиперболе.
4. Точка \(D(0, 0)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 0\):
\[
\left(0 — \frac{1}{2}\right)^2 — 0^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
Равенство выполняется, значит, точка \(D\) лежит на гиперболе.
5. Точка \(E(0, 1)\):
Подставляем \(x = 0\) и \(y = 1\):
\[
\left(0 — \frac{1}{2}\right)^2 — 1^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 — 1 = \frac{1}{4} — 1 = \frac{1}{4} — \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}
\]
Равенство не выполняется, значит, точка \(E\) не лежит на гиперболе.
Вывод: На гиперболе лежат точки \(B\) и \(D\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.