Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 951 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) \(A(-3; -1)\), \(B(1; -1)\), \(C(1; -3)\), \(D(-3; -3)\);
б) \(A(4; 1)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\), \(D(0; 0)\).
Для доказательства, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником, нужно показать, что противоположные стороны равны и диагонали равны.
а) Для точек \(A(-3; -1)\), \(B(1; -1)\), \(C(1; -3)\), \(D(-3; -3)\):
1. Длины сторон:
\[
AB = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-1 + 1)^2} = 4
\]
\[
CD = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (-3 + 3)^2} = 4
\]
\[
BC = \sqrt{(1 — 1)^2 + (-3 + 1)^2} = 2
\]
\[
AD = \sqrt{(-3 + 3)^2 + (-3 + 1)^2} = 2
\]
Противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
2. Диагонали:
\[
AC = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3 + 1)^2} = 2\sqrt{5}
\]
\[
BD = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (-3 + 1)^2} = 2\sqrt{5}
\]
Диагонали равны: \(AC = BD\).
Таким образом, \(ABCD\) является прямоугольником. Площадь:
\[
S_{ABCD} = AB \times AD = 4 \times 2 = 8
\]
б) Для точек \(A(4; 1)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\), \(D(0; 0)\):
1. Длины сторон:
\[
AB = \sqrt{(3 — 4)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{17}
\]
\[
CD = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 — 4)^2} = \sqrt{17}
\]
\[
BC = \sqrt{(-1 — 3)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{17}
\]
\[
AD = \sqrt{(0 — 4)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{17}
\]
Противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
2. Диагонали:
\[
AC = \sqrt{(-1 — 4)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{34}
\]
\[
BD = \sqrt{(0 — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{34}
\]
Диагонали равны: \(AC = BD\).
Таким образом, \(ABCD\) является прямоугольником. Площадь:
\[
S_{ABCD} = AB \times AD = \sqrt{17} \times \sqrt{17} = 17
\]
Ответ: а) 8; б) 17.
Для доказательства, что четырёхугольник \(ABCD\) является прямоугольником, нужно показать, что противоположные стороны равны и диагонали равны.
а) Для точек \(A(-3; -1)\), \(B(1; -1)\), \(C(1; -3)\), \(D(-3; -3)\):
1. Вычислим длины сторон:
\[
AB = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{16} = 4
\]
\[
CD = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (-3 + 3)^2} = \sqrt{16} = 4
\]
\[
BC = \sqrt{(1 — 1)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{4} = 2
\]
\[
AD = \sqrt{(-3 + 3)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{4} = 2
\]
Противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
2. Вычислим длины диагоналей:
\[
AC = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
\[
BD = \sqrt{(-3 — 1)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
Диагонали равны: \(AC = BD\).
Таким образом, \(ABCD\) является прямоугольником. Вычислим площадь:
\[
S_{ABCD} = AB \times AD = 4 \times 2 = 8
\]
б) Для точек \(A(4; 1)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\), \(D(0; 0)\):
1. Вычислим длины сторон:
\[
AB = \sqrt{(3 — 4)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
\[
CD = \sqrt{(0 + 1)^2 + (0 — 4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}
\]
\[
BC = \sqrt{(-1 — 3)^2 + (4 — 5)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
\]
\[
AD = \sqrt{(0 — 4)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
\]
Противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
2. Вычислим длины диагоналей:
\[
AC = \sqrt{(-1 — 4)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}
\]
\[
BD = \sqrt{(0 — 3)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}
\]
Диагонали равны: \(AC = BD\).
Таким образом, \(ABCD\) является прямоугольником. Вычислим площадь:
\[
S_{ABCD} = AB \times AD = \sqrt{17} \times \sqrt{17} = 17
\]
Ответ: а) 8; б) 17.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.