Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 950 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:
а) \(M (1; 1)\), \(N (6; 1)\), \(P (7; 4)\), \(Q (2; 4)\);
б) \(M (-5; 1)\), \(N (-4; 4)\), \(P (-1; 5)\), \(Q (-2; 2)\).
Для доказательства, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны равны.
Рассчитаем длины сторон и диагоналей.
а) Точки: \(M(1, 1)\), \(N(6, 1)\), \(P(7, 4)\), \(Q(2, 4)\)
1. Длины сторон:
\[
MQ = \sqrt{(2 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
\[
NP = \sqrt{(7 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
\[
MN = \sqrt{(6 — 1)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
PQ = \sqrt{(2 — 7)^2 + (4 — 4)^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).
2. Диагонали:
\[
NQ = \sqrt{(2 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
\]
\[
MP = \sqrt{(7 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}
\]
б) Точки: \(M(-5, 1)\), \(N(-4, 4)\), \(P(-1, 5)\), \(Q(-2, 2)\)
1. Длины сторон:
\[
MQ = \sqrt{(-2 + 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
\[
NP = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
\[
MN = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
\[
PQ = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (2 — 5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).
2. Диагонали:
\[
NQ = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}
\]
\[
MP = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}
\]
Таким образом, четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом в обоих случаях.
Для доказательства, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны равны.
Рассчитаем длины сторон и диагоналей.
а) Точки: \(M(1, 1)\), \(N(6, 1)\), \(P(7, 4)\), \(Q(2, 4)\)
1. Длины сторон:
Вычисляем длину стороны \(MQ\):
\[
MQ = \sqrt{(2 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Вычисляем длину стороны \(NP\):
\[
NP = \sqrt{(7 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Вычисляем длину стороны \(MN\):
\[
MN = \sqrt{(6 — 1)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Вычисляем длину стороны \(PQ\):
\[
PQ = \sqrt{(2 — 7)^2 + (4 — 4)^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).
2. Диагонали:
Вычисляем длину диагонали \(NQ\):
\[
NQ = \sqrt{(2 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
Вычисляем длину диагонали \(MP\):
\[
MP = \sqrt{(7 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71
\]
б) Точки: \(M(-5, 1)\), \(N(-4, 4)\), \(P(-1, 5)\), \(Q(-2, 2)\)
1. Длины сторон:
Вычисляем длину стороны \(MQ\):
\[
MQ = \sqrt{(-2 + 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Вычисляем длину стороны \(NP\):
\[
NP = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Вычисляем длину стороны \(MN\):
\[
MN = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Вычисляем длину стороны \(PQ\):
\[
PQ = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (2 — 5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\]
Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).
2. Диагонали:
Вычисляем длину диагонали \(NQ\):
\[
NQ = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,83
\]
Вычисляем длину диагонали \(MP\):
\[
MP = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \approx 5,66
\]
Таким образом, четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом в обоих случаях, так как противоположные стороны равны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.