ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 950 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:

а) \(M (1; 1)\), \(N (6; 1)\), \(P (7; 4)\), \(Q (2; 4)\);

б) \(M (-5; 1)\), \(N (-4; 4)\), \(P (-1; 5)\), \(Q (-2; 2)\).

Для доказательства, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны равны.

Рассчитаем длины сторон и диагоналей.

а) Точки: \(M(1, 1)\), \(N(6, 1)\), \(P(7, 4)\), \(Q(2, 4)\)

1. Длины сторон:

\(
MQ = \sqrt{(2 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

\(
NP = \sqrt{(7 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

\(
MN = \sqrt{(6 — 1)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5
\)

\(
PQ = \sqrt{(2 — 7)^2 + (4 — 4)^2} = \sqrt{25} = 5
\)

Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).

2. Диагонали:

\(
NQ = \sqrt{(2 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
\)

\(
MP = \sqrt{(7 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}
\)

б) Точки: \(M(-5, 1)\), \(N(-4, 4)\), \(P(-1, 5)\), \(Q(-2, 2)\)

1. Длины сторон:

\(
MQ = \sqrt{(-2 + 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\)

\(
NP = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\)

\(
MN = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

\(
PQ = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (2 — 5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).

2. Диагонали:

\(
NQ = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}
\)

\(
MP = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}
\)

Таким образом, четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом в обоих случаях.

Для доказательства, что четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны равны.

Рассчитаем длины сторон и диагоналей.

а) Точки: \(M(1, 1)\), \(N(6, 1)\), \(P(7, 4)\), \(Q(2, 4)\)

1. Длины сторон:

Вычисляем длину стороны \(MQ\):

\(
MQ = \sqrt{(2 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Вычисляем длину стороны \(NP\):

\(
NP = \sqrt{(7 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Вычисляем длину стороны \(MN\):

\(
MN = \sqrt{(6 — 1)^2 + (1 — 1)^2} = \sqrt{25} = 5
\)

Вычисляем длину стороны \(PQ\):

\(
PQ = \sqrt{(2 — 7)^2 + (4 — 4)^2} = \sqrt{25} = 5
\)

Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).

2. Диагонали:

Вычисляем длину диагонали \(NQ\):

\(
NQ = \sqrt{(2 — 6)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\)

Вычисляем длину диагонали \(MP\):

\(
MP = \sqrt{(7 — 1)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71
\)

б) Точки: \(M(-5, 1)\), \(N(-4, 4)\), \(P(-1, 5)\), \(Q(-2, 2)\)

1. Длины сторон:

Вычисляем длину стороны \(MQ\):

\(
MQ = \sqrt{(-2 + 5)^2 + (2 — 1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Вычисляем длину стороны \(NP\):

\(
NP = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (5 — 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Вычисляем длину стороны \(MN\):

\(
MN = \sqrt{(-4 + 5)^2 + (4 — 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Вычисляем длину стороны \(PQ\):

\(
PQ = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (2 — 5)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16
\)

Противоположные стороны равны: \(MQ = NP\) и \(MN = PQ\).

2. Диагонали:

Вычисляем длину диагонали \(NQ\):

\(
NQ = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,83
\)

Вычисляем длину диагонали \(MP\):

\(
MP = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (5 — 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \approx 5,66
\)

Таким образом, четырёхугольник \(MNPQ\) является параллелограммом в обоих случаях, так как противоположные стороны равны.