Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 949 Атанасян — Подробные Ответы
На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и В (-3; 4); б) С (1; 1) и D (3; 5).
а) Для точек \(A(1; 2)\) и \(B(-3; 4)\):
1. \(y_E = 0\).
2. Расстояние \(AE = \sqrt{(x — 1)^2 + 4}\).
3. Расстояние \(EB = \sqrt{(-3 — x)^2 + 16}\).
4. Приравниваем:
\[
\sqrt{(x — 1)^2 + 4} = \sqrt{(-3 — x)^2 + 16}
\]
5. Возводим в квадрат:
\[
(x — 1)^2 + 4 = (-3 — x)^2 + 16
\]
6. Упрощаем:
\[
x^2 — 2x + 1 — (x^2 + 6x + 9) = 12
\]
7. Решаем:
\[
-8x — 8 = 12
\]
\[
-8x = 20
\]
\[
x = -2,5
\]
Ответ: \(E(-2 \frac{1}{2}; 0)\).
б) Для точек \(C(1; 1)\) и \(D(3; 5)\):
1. \(y_F = 0\).
2. Расстояние \(CF = \sqrt{(x — 1)^2 + 1}\).
3. Расстояние \(FD = \sqrt{(3 — x)^2 + 25}\).
4. Приравниваем:
\[
\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{(3 — x)^2 + 25}
\]
5. Возводим в квадрат:
\[
(x — 1)^2 + 1 = (3 — x)^2 + 25
\]
6. Упрощаем:
\[
x^2 — 2x + 1 — (x^2 — 6x + 9) = 24
\]
7. Решаем:
\[
4x — 8 = 24
\]
\[
4x = 32
\]
\[
x = 8
\]
Ответ: \(F(8; 0)\).
а) Для точек \(A(1; 2)\) и \(B(-3; 4)\):
1. Так как точка \(E\) находится на оси абсцисс, её ордината равна 0 (\(y_E = 0\)).
2. Найдём расстояние от точки \(E(x; 0)\) до точки \(A(1; 2)\):
\[
AE = \sqrt{(x — 1)^2 + (0 — 2)^2} = \sqrt{(x — 1)^2 + 4}
\]
3. Найдём расстояние от точки \(E(x; 0)\) до точки \(B(-3; 4)\):
\[
EB = \sqrt{(-3 — x)^2 + (4 — 0)^2} = \sqrt{(-3 — x)^2 + 16}
\]
4. Приравняем расстояния \(AE\) и \(EB\):
\[
\sqrt{(x — 1)^2 + 4} = \sqrt{(-3 — x)^2 + 16}
\]
5. Возведём обе части в квадрат:
\[
(x — 1)^2 + 4 = (-3 — x)^2 + 16
\]
6. Упростим выражение:
\[
(x — 1)^2 — (-3 — x)^2 = 12
\]
7. Раскроем скобки:
\[
(x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1
\]
\[
(-3 — x)^2 = x^2 + 6x + 9
\]
8. Подставим в уравнение и упростим:
\[
x^2 — 2x + 1 — (x^2 + 6x + 9) = 12
\]
9. Упростим дальше:
\[
-8x — 8 = 12
\]
10. Решим уравнение:
\[
-8x = 20
\]
\[
x = -2,5
\]
Таким образом, точка \(E\) имеет координаты \((-2 \frac{1}{2}; 0)\).
б) Для точек \(C(1; 1)\) и \(D(3; 5)\):
1. Поскольку точка \(F\) находится на оси абсцисс, её ордината равна 0 (\(y_F = 0\)).
2. Найдём расстояние от точки \(F(x; 0)\) до точки \(C(1; 1)\):
\[
CF = \sqrt{(x — 1)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{(x — 1)^2 + 1}
\]
3. Найдём расстояние от точки \(F(x; 0)\) до точки \(D(3; 5)\):
\[
FD = \sqrt{(3 — x)^2 + (5 — 0)^2} = \sqrt{(3 — x)^2 + 25}
\]
4. Приравняем расстояния \(CF\) и \(FD\):
\[
\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{(3 — x)^2 + 25}
\]
5. Возведём обе части в квадрат:
\[
(x — 1)^2 + 1 = (3 — x)^2 + 25
\]
6. Упростим выражение:
\[
(x — 1)^2 — (3 — x)^2 = 24
\]
7. Раскроем скобки:
\[
(x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1
\]
\[
(3 — x)^2 = x^2 — 6x + 9
\]
8. Подставим в уравнение и упростим:
\[
x^2 — 2x + 1 — (x^2 — 6x + 9) = 24
\]
9. Упростим дальше:
\[
4x — 8 = 24
\]
10. Решим уравнение:
\[
4x = 32
\]
\[
x = 8
\]
Таким образом, точка \(F\) имеет координаты \((8; 0)\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.