ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 948 Атанасян — Подробные Ответы

На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек:
а) \(A (-3; 5)\) и \(B (6; 4)\);
б) \(C (4; -3)\) и \(D (8; 1)\).

Для нахождения точки на оси ординат, равноудалённой от заданных точек, нужно решить систему уравнений, основанную на равенстве расстояний.

а) Найти точку, равноудалённую от \(A(-3; 5)\) и \(B(6; 4)\):

1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_c = 0\)).

2. Рассчитаем расстояния:
\(
AC = \sqrt{(0 + 3)^2 + (y — 5)^2} = \sqrt{9 + (y — 5)^2}
\)
\(
BC = \sqrt{(6 — 0)^2 + (y — 4)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\)

3. Приравняем расстояния:
\(
\sqrt{9 + (y — 5)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\)

4. Возведём обе части в квадрат:
\(
9 + (y — 5)^2 = 36 + (y — 4)^2
\)

5. Упростим:
\(
(y — 5)^2 — (y — 4)^2 = 27
\)

6. Решим уравнение:
\(
-1(2y — 9) = -27 \quad \Rightarrow \quad 2y = -18 \quad \Rightarrow \quad y = -9
\)

Ответ: \(C(0; -9)\).

б) Найти точку, равноудалённую от \(C(4; -3)\) и \(D(8; 1)\):

1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_e = 0\)).

2. Рассчитаем расстояния:
\(
CE = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2}
\)
\(
ED = \sqrt{(3 — 0)^2 + (1 — y)^2} = \sqrt{9 + (1 — y)^2}
\)

3. Приравняем расстояния:
\(
\sqrt{16 + (y + 3)^2} = \sqrt{9 + (1 — y)^2}
\)

4. Возведём обе части в квадрат:
\(
16 + (y + 3)^2 = 9 + (1 — y)^2
\)

5. Упростим:
\(
(y + 3)^2 — (1 — y)^2 = 48
\)

6. Решим уравнение:
\(
4(2y + 2) = 48 \quad \Rightarrow \quad 8(y + 1) = 48 \quad \Rightarrow \quad y = 5
\)

Ответ: \(E(0; 5)\).

Для нахождения точки на оси ординат, равноудалённой от заданных точек, нужно решить систему уравнений, основанную на равенстве расстояний.

а) Найти точку, равноудалённую от \(A(-3; 5)\) и \(B(6; 4)\):

1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_c = 0\)).

2. Рассчитаем расстояние от точки \(C(0; y)\) до точки \(A(-3; 5)\):
\(
AC = \sqrt{(0 — (-3))^2 + (y — 5)^2} = \sqrt{9 + (y — 5)^2}
\)

3. Рассчитаем расстояние от точки \(C(0; y)\) до точки \(B(6; 4)\):
\(
BC = \sqrt{(6 — 0)^2 + (y — 4)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\)

4. Приравняем расстояния \(AC\) и \(BC\):
\(
\sqrt{9 + (y — 5)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\)

5. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
\(
9 + (y — 5)^2 = 36 + (y — 4)^2
\)

6. Упростим выражение:
\(
(y — 5)^2 — (y — 4)^2 = 27
\)

7. Разложим квадраты:
\(
(y — 5)^2 = y^2 — 10y + 25
\)
\(
(y — 4)^2 = y^2 — 8y + 16
\)

8. Подставим и упростим:
\(
y^2 — 10y + 25 — (y^2 — 8y + 16) = 27
\)

9. Сократим:
\(
-2y + 9 = 27
\)

10. Решим уравнение:
\(
-2y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = -9
\)

Ответ: \(C(0; -9)\).

б) Найти точку, равноудалённую от \(C(4; -3)\) и \(D(8; 1)\):

1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_e = 0\)).

2. Рассчитаем расстояние от точки \(E(0; y)\) до точки \(C(4; -3)\):
\(
CE = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2}
\)

3. Рассчитаем расстояние от точки \(E(0; y)\) до точки \(D(8; 1)\):
\(
ED = \sqrt{(8 — 0)^2 + (1 — y)^2} = \sqrt{64 + (1 — y)^2}
\)

4. Приравняем расстояния \(CE\) и \(ED\):
\(
\sqrt{16 + (y + 3)^2} = \sqrt{64 + (1 — y)^2}
\)

5. Возведём обе части в квадрат:
\(
16 + (y + 3)^2 = 64 + (1 — y)^2
\)

6. Упростим выражение:
\(
(y + 3)^2 — (1 — y)^2 = 48
\)

7. Разложим квадраты:
\(
(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9
\)
\(
(1 — y)^2 = y^2 — 2y + 1
\)

8. Подставим и упростим:
\(
y^2 + 6y + 9 — (y^2 — 2y + 1) = 48
\)

9. Сократим:
\(
8y + 8 = 48
\)

10. Решим уравнение:
\(
8y = 40 \quad \Rightarrow \quad y = 5
\)

Ответ: \(E(0; 5)\).