Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 948 Атанасян — Подробные Ответы
На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек:
а) \(A (-3; 5)\) и \(B (6; 4)\);
б) \(C (4; -3)\) и \(D (8; 1)\).
Для нахождения точки на оси ординат, равноудалённой от заданных точек, нужно решить систему уравнений, основанную на равенстве расстояний.
а) Найти точку, равноудалённую от \(A(-3; 5)\) и \(B(6; 4)\):
1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_c = 0\)).
2. Рассчитаем расстояния:
\[
AC = \sqrt{(0 + 3)^2 + (y — 5)^2} = \sqrt{9 + (y — 5)^2}
\]
\[
BC = \sqrt{(6 — 0)^2 + (y — 4)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\]
3. Приравняем расстояния:
\[
\sqrt{9 + (y — 5)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\]
4. Возведём обе части в квадрат:
\[
9 + (y — 5)^2 = 36 + (y — 4)^2
\]
5. Упростим:
\[
(y — 5)^2 — (y — 4)^2 = 27
\]
6. Решим уравнение:
\[
-1(2y — 9) = -27 \quad \Rightarrow \quad 2y = -18 \quad \Rightarrow \quad y = -9
\]
Ответ: \(C(0; -9)\).
б) Найти точку, равноудалённую от \(C(4; -3)\) и \(D(8; 1)\):
1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_e = 0\)).
2. Рассчитаем расстояния:
\[
CE = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2}
\]
\[
ED = \sqrt{(3 — 0)^2 + (1 — y)^2} = \sqrt{9 + (1 — y)^2}
\]
3. Приравняем расстояния:
\[
\sqrt{16 + (y + 3)^2} = \sqrt{9 + (1 — y)^2}
\]
4. Возведём обе части в квадрат:
\[
16 + (y + 3)^2 = 9 + (1 — y)^2
\]
5. Упростим:
\[
(y + 3)^2 — (1 — y)^2 = 48
\]
6. Решим уравнение:
\[
4(2y + 2) = 48 \quad \Rightarrow \quad 8(y + 1) = 48 \quad \Rightarrow \quad y = 5
\]
Ответ: \(E(0; 5)\).
Для нахождения точки на оси ординат, равноудалённой от заданных точек, нужно решить систему уравнений, основанную на равенстве расстояний.
а) Найти точку, равноудалённую от \(A(-3; 5)\) и \(B(6; 4)\):
1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_c = 0\)).
2. Рассчитаем расстояние от точки \(C(0; y)\) до точки \(A(-3; 5)\):
\[
AC = \sqrt{(0 — (-3))^2 + (y — 5)^2} = \sqrt{9 + (y — 5)^2}
\]
3. Рассчитаем расстояние от точки \(C(0; y)\) до точки \(B(6; 4)\):
\[
BC = \sqrt{(6 — 0)^2 + (y — 4)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\]
4. Приравняем расстояния \(AC\) и \(BC\):
\[
\sqrt{9 + (y — 5)^2} = \sqrt{36 + (y — 4)^2}
\]
5. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
\[
9 + (y — 5)^2 = 36 + (y — 4)^2
\]
6. Упростим выражение:
\[
(y — 5)^2 — (y — 4)^2 = 27
\]
7. Разложим квадраты:
\[
(y — 5)^2 = y^2 — 10y + 25
\]
\[
(y — 4)^2 = y^2 — 8y + 16
\]
8. Подставим и упростим:
\[
y^2 — 10y + 25 — (y^2 — 8y + 16) = 27
\]
9. Сократим:
\[
-2y + 9 = 27
\]
10. Решим уравнение:
\[
-2y = 18 \quad \Rightarrow \quad y = -9
\]
Ответ: \(C(0; -9)\).
б) Найти точку, равноудалённую от \(C(4; -3)\) и \(D(8; 1)\):
1. Поскольку точка находится на оси ординат, её абсцисса равна 0 (\(x_e = 0\)).
2. Рассчитаем расстояние от точки \(E(0; y)\) до точки \(C(4; -3)\):
\[
CE = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2}
\]
3. Рассчитаем расстояние от точки \(E(0; y)\) до точки \(D(8; 1)\):
\[
ED = \sqrt{(8 — 0)^2 + (1 — y)^2} = \sqrt{64 + (1 — y)^2}
\]
4. Приравняем расстояния \(CE\) и \(ED\):
\[
\sqrt{16 + (y + 3)^2} = \sqrt{64 + (1 — y)^2}
\]
5. Возведём обе части в квадрат:
\[
16 + (y + 3)^2 = 64 + (1 — y)^2
\]
6. Упростим выражение:
\[
(y + 3)^2 — (1 — y)^2 = 48
\]
7. Разложим квадраты:
\[
(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9
\]
\[
(1 — y)^2 = y^2 — 2y + 1
\]
8. Подставим и упростим:
\[
y^2 + 6y + 9 — (y^2 — 2y + 1) = 48
\]
9. Сократим:
\[
8y + 8 = 48
\]
10. Решим уравнение:
\[
8y = 40 \quad \Rightarrow \quad y = 5
\]
Ответ: \(E(0; 5)\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.