Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 946 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите \(x\), если:
а) расстояние между точками \(A (2; 3)\) и \(B (x; 1)\) равно 2;
б) расстояние между точками \(M_1 (-1; x)\) и \(M_2 (2x; 3)\) равно 7.
Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками.
**а) Найти \(x\) для расстояния между \(A (2; 3)\) и \(B (x; 1)\):**
Расстояние между точками \(A\) и \(B\) равно 2:
\[
AB = \sqrt{(x — 2)^2 + (1 — 3)^2} = 2
\]
Возведем обе части в квадрат:
\[
(x — 2)^2 + 4 = 4
\]
\[
(x — 2)^2 = 0
\]
Следовательно, \(x = 2\).
**б) Найти \(x\) для расстояния между \(M_1 (-1; x)\) и \(M_2 (2x; 3)\):**
Расстояние между точками \(M_1\) и \(M_2\) равно 7:
\[
M_1M_2 = \sqrt{(2x + 1)^2 + (3 — x)^2} = 7
\]
Возведем обе части в квадрат:
\[
(2x + 1)^2 + (3 — x)^2 = 49
\]
Раскроем скобки:
\[
4x^2 + 4x + 1 + 9 — 6x + x^2 = 49
\]
Объединяем и упрощаем:
\[
5x^2 — 2x — 39 = 0
\]
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784
\]
Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 — 28}{10} = -2.6
\]
Ответ: \(x = 2\) для а); \(x = 3\) или \(x = -2.6\) для б).
Рассмотрим каждую часть задачи подробно.
а) Найти \(x\), если расстояние между точками \(A (2; 3)\) и \(B (x; 1)\) равно 2.
Используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):
\[
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
\]
Для точек \(A (2; 3)\) и \(B (x; 1)\) расстояние \(d = 2\):
\[
\sqrt{(x — 2)^2 + (1 — 3)^2} = 2
\]
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[
(x — 2)^2 + (1 — 3)^2 = 4
\]
\[
(x — 2)^2 + 4 = 4
\]
Упростим выражение:
\[
(x — 2)^2 = 0
\]
Решаем уравнение:
\[
x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
б) Найти \(x\), если расстояние между точками \(M_1 (-1; x)\) и \(M_2 (2x; 3)\) равно 7.
Опять используем формулу расстояния:
\[
\sqrt{(2x — (-1))^2 + (3 — x)^2} = 7
\]
Упростим выражение:
\[
\sqrt{(2x + 1)^2 + (3 — x)^2} = 7
\]
Возведем обе части в квадрат:
\[
(2x + 1)^2 + (3 — x)^2 = 49
\]
Раскроем скобки:
\[
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]
\[
(3 — x)^2 = 9 — 6x + x^2
\]
Подставим в уравнение:
\[
4x^2 + 4x + 1 + 9 — 6x + x^2 = 49
\]
Объединяем и упрощаем:
\[
5x^2 — 2x + 10 = 49
\]
\[
5x^2 — 2x — 39 = 0
\]
Решаем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) по формуле:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}
\]
Здесь \(a = 5\), \(b = -2\), \(c = -39\).
Находим дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784
\]
Находим корни:
\[
x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 28}{10} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{-(-2) — \sqrt{784}}{2 \cdot 5} = \frac{2 — 28}{10} = -2.6
\]
Ответ: \(x = 2\) для а); \(x = 3\) или \(x = -2.6\) для б).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.