Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 936 Атанасян — Подробные Ответы
Вот извлеченное условие задачи вместе с таблицей:
Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины \(M\) отрезка \(AB\), заполните пустые клетки:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & (2; -3) & (0; 1) & (0; 0) & (c; d) & (3; 5) & (3t + 5; 7) & (1; 3) \\
\hline
B & (-3; 1) & (4; 7) & (-3; 7) & (3; 8) & (t + 7; -7) & & \\
\hline
M & (-3; -2) & (3; -5) & (a; b) & & (0; 0) & & \\
\hline
\end{array}
\]
Для вычисления координат середины \(M\) отрезка \(AB\), используем формулы:
\[
x_M = \frac{x_A + x_B}{2}
\]
\[
y_M = \frac{y_A + y_B}{2}
\]
Теперь применим эти формулы к каждой паре координат:
1. Для \(A(2; -3)\) и \(B(-3; 1)\):
\[
x_M = \frac{2 + (-3)}{2} = -0.5
\]
\[
y_M = \frac{-3 + 1}{2} = -1
\]
2. Для \(A(-10; -11)\) и \(B(4; 7)\):
\[
x_M = \frac{-10 + 4}{2} = -3
\]
\[
y_M = \frac{-11 + 7}{2} = -2
\]
3. Для \(A(0; 1)\) и \(B(6; -11)\):
\[
x_M = \frac{0 + 6}{2} = 3
\]
\[
y_M = \frac{1 + (-11)}{2} = -5
\]
4. Для \(A(0; 0)\) и \(B(-3; 7)\):
\[
x_M = \frac{0 + (-3)}{2} = -1.5
\]
\[
y_M = \frac{0 + 7}{2} = 3.5
\]
5. Для \(A(c; d)\) и \(B(2a-c; 2b-d)\):
\[
x_M = \frac{c + (2a-c)}{2} = a
\]
\[
y_M = \frac{d + (2b-d)}{2} = b
\]
6. Для \(A(3; 5)\) и \(B(3; 8)\):
\[
x_M = \frac{3 + 3}{2} = 3
\]
\[
y_M = \frac{5 + 8}{2} = 6.5
\]
7. Для \(A(3t + 5; 7)\) и \(B(t + 7; -7)\):
\[
x_M = \frac{3t + 5 + (t + 7)}{2} = 2t + 6
\]
\[
y_M = \frac{7 + (-7)}{2} = 0
\]
8. Для \(A(1; 3)\) и \(B(-1; -3)\):
\[
x_M = \frac{1 + (-1)}{2} = 0
\]
\[
y_M = \frac{3 + (-3)}{2} = 0
\]
Заполненные координаты середины \(M\) для каждого отрезка можно использовать для проверки правильности вычислений.
Вот заполненная таблица согласно условию:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & (2; -3) & (-10; -11) & (0; 1) & (0; 0) & (c; d) & (3; 5) & (3t + 5; 7) & (1; 3) \\
\hline
B & (-3; 1) & (4; 7) & (6; -11) & (-3; 7) & (2a — c; 2b — d) & (3; 8) & (t + 7; -7) & (-1; -3) \\
\hline
M & (-0.5; -1) & (-3; -2) & (3; -5) & (-1.5; 3.5) & (a; b) & (3; 6.5) & (2t + 6; 0) & (0; 0) \\
\hline
\end{array}
\]
Для нахождения координат точки \(M\), которая является серединой отрезка \(AB\), используем формулы:
\[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \]
\[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \]
Рассмотрим каждую пару координат:
1. Для точки \(A(2; -3)\) и точки \(B(-3; 1)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{2 + (-3)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
— Координаты \(M\): \((-0.5; -1)\)
2. Для точки \(A(-10; -11)\) и точки \(B(4; 7)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{-10 + 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{-11 + 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
— Координаты \(M\): \((-3; -2)\)
3. Для точки \(A(0; 1)\) и точки \(B(6; -11)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{1 + (-11)}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
— Координаты \(M\): \((3; -5)\)
4. Для точки \(A(0; 0)\) и точки \(B(-3; 7)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{0 + (-3)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{0 + 7}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \]
— Координаты \(M\): \((-1.5; 3.5)\)
5. Для точки \(A(c; d)\) и точки \(B(2a — c; 2b — d)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{c + (2a — c)}{2} = \frac{2a}{2} = a \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{d + (2b — d)}{2} = \frac{2b}{2} = b \]
— Координаты \(M\): \((a; b)\)
6. Для точки \(A(3; 5)\) и точки \(B(3; 8)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \]
— Координаты \(M\): \((3; 6.5)\)
7. Для точки \(A(3t + 5; 7)\) и точки \(B(t + 7; -7)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{3t + 5 + (t + 7)}{2} = \frac{4t + 12}{2} = 2t + 6 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{7 + (-7)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
— Координаты \(M\): \((2t + 6; 0)\)
8. Для точки \(A(1; 3)\) и точки \(B(-1; -3)\):
— Найдем \(x_M\):
\[ x_M = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
— Найдем \(y_M\):
\[ y_M = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]
— Координаты \(M\): \((0; 0)\)
Заполненные координаты середины \(M\) для каждого отрезка теперь представлены в таблице.
Вот заполненная таблица согласно условию:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & (2; -3) & (-10; -11) & (0; 1) & (0; 0) & (c; d) & (3; 5) & (3t + 5; 7) & (1; 3) \\
\hline
B & (-3; 1) & (4; 7) & (6; -11) & (-3; 7) & (2a — c; 2b — d) & (3; 8) & (t + 7; -7) & (-1; -3) \\
\hline
M & (-0.5; -1) & (-3; -2) & (3; -5) & (-1.5; 3.5) & (a; b) & (3; 6.5) & (2t + 6; 0) & (0; 0) \\
\hline
\end{array}
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.