Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 927 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Если два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, то их координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число \(k\), что:
\[
\vec{a} = k\vec{b}
\]
Если \(\vec{a} = \{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2; y_2\}\), то:
\[
x_1 = kx_2 \quad \text{и} \quad y_1 = ky_2
\]
Следовательно:
\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k
\]
Обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.
Пусть \(\vec{a} = \{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2; y_2\}\), и \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k\). Тогда:
\[
x_1 = kx_2 \quad \text{и} \quad y_1 = ky_2
\]
Следовательно, \(\vec{a} = k\vec{b}\), что доказывает коллинеарность векторов.
Для доказательства утверждения, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, рассмотрим векторы \(\vec{a} = \{x_1, y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2, y_2\}\).
1. Коллинеарность векторов: Два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k\vec{b}\). Это означает, что:
\[
x_1 = kx_2 \quad \text{и} \quad y_1 = ky_2
\]
2. Вывод пропорциональности: Из условия коллинеарности следует, что:
\[
\frac{x_1}{x_2} = k \quad \text{и} \quad \frac{y_1}{y_2} = k
\]
Таким образом, координаты пропорциональны:
\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}
\]
3. Обратное утверждение: Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то эти векторы коллинеарны.
Пусть \(\vec{a} = \{x_1, y_1\}\) и \(\vec{b} = \{x_2, y_2\}\), и известно, что:
\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k
\]
Тогда:
\[
x_1 = kx_2 \quad \text{и} \quad y_1 = ky_2
\]
Следовательно, \(\vec{a} = k\vec{b}\), что доказывает коллинеарность векторов.
Таким образом, мы доказали оба утверждения: если векторы коллинеарны, их координаты пропорциональны, и если координаты пропорциональны, векторы коллинеарны.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.