Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 914 Атанасян — Подробные Ответы
914 Докажите, что если векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны, то:
а) векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) не коллинеарны;
б) векторы \(2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны;
в) векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Дано: векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
а) Докажем, что векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда существует число \(k\), такое что:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} — k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
\overrightarrow{a}(1-k) = \overrightarrow{b}(-1-k)
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
б) Докажем, что векторы \(2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда:
\(
2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
\overrightarrow{a}(2-k) = \overrightarrow{b}(1+k)
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны. Следовательно, векторы \(2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
в) Докажем, что векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
\overrightarrow{a}(1-k) = \overrightarrow{b}(3k-1)
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Дано: векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
а) Докажем, что векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда существует число \(k\), такое что:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} — k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
\overrightarrow{a} — k\overrightarrow{a} = -k\overrightarrow{b} — \overrightarrow{b}
\)
Упрощаем:
\(
\overrightarrow{a}(1-k) = \overrightarrow{b}(-1-k)
\)
Если \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то существует число \(m\), такое что \(\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{b}\). Подставим:
\(
m\overrightarrow{b}(1-k) = \overrightarrow{b}(-1-k)
\)
Сократим на \(\overrightarrow{b}\) (невозможно, если \(\overrightarrow{b} = 0\)):
\(
m(1-k) = -1-k
\)
Отсюда:
\(
m = \frac{-1-k}{1-k}
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по условию неколлинеарны. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
б) Докажем, что векторы \(2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда:
\(
2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
2\overrightarrow{a} — k\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}
\)
Упрощаем:
\(
\overrightarrow{a}(2-k) = \overrightarrow{b}(1+k)
\)
Если \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то существует число \(m\), такое что \(\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{b}\). Подставим:
\(
m\overrightarrow{b}(2-k) = \overrightarrow{b}(1+k)
\)
Сократим на \(\overrightarrow{b}\):
\(
m(2-k) = 1+k
\)
Отсюда:
\(
m = \frac{1+k}{2-k}
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по условию неколлинеарны. Следовательно, векторы \(2\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
в) Докажем, что векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Предположим, что они коллинеарны. Тогда:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b})
\)
Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{b}
\)
Переносим все к одному вектору:
\(
\overrightarrow{a} — k\overrightarrow{a} = 3k\overrightarrow{b} — \overrightarrow{b}
\)
Упрощаем:
\(
\overrightarrow{a}(1-k) = \overrightarrow{b}(3k-1)
\)
Если \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то существует число \(m\), такое что \(\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{b}\). Подставим:
\(
m\overrightarrow{b}(1-k) = \overrightarrow{b}(3k-1)
\)
Сократим на \(\overrightarrow{b}\):
\(
m(1-k) = 3k-1
\)
Отсюда:
\(
m = \frac{3k-1}{1-k}
\)
Это невозможно, так как \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) по условию неколлинеарны. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) не коллинеарны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.