Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 913 Атанасян — Подробные Ответы
Векторы а и б коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3б и а; б) б — 2а и а? Ответ обоснуйте.
Давайте разберем задачу.
а) Векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны. Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\):
Если \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) коллинеарны, то \(\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}\) для некоторого \(k\). Тогда:
\(
\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + 3(k\overrightarrow{a}) = (1 + 3k)\overrightarrow{a}
\)
Так как это выражение является линейной комбинацией \(\overrightarrow{a}\), то векторы \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.
б) Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\):
\(
\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} — 2\overrightarrow{a} = (k — 2)\overrightarrow{a}
\)
Это также является линейной комбинацией \(\overrightarrow{a}\), следовательно, векторы \(\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.
Таким образом, оба вектора в пунктах а) и б) коллинеарны с \(\overrightarrow{a}\).
Давайте рассмотрим задачу подробнее.
Даны векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), которые коллинеарны. Это означает, что существует такое число \(k\), что \(\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}\).
а) Проверим коллинеарность векторов \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\).
Подставим выражение для \(\overrightarrow{b}\):
\(
\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + 3(k\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + 3k\overrightarrow{a}
\)
Сгруппируем:
\(
= (1 + 3k)\overrightarrow{a}
\)
Так как \((1 + 3k)\overrightarrow{a}\) является линейной комбинацией \(\overrightarrow{a}\), векторы \(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.
б) Проверим коллинеарность векторов \(\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\).
Подставим выражение для \(\overrightarrow{b}\):
\(
\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} — 2\overrightarrow{a}
\)
Сгруппируем:
\(
= (k — 2)\overrightarrow{a}
\)
Так как \((k — 2)\overrightarrow{a}\) также является линейной комбинацией \(\overrightarrow{a}\), векторы \(\overrightarrow{b} — 2\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\) коллинеарны.
Таким образом, оба вектора в пунктах а) и б) коллинеарны с \(\overrightarrow{a}\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.