Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 912 Атанасян — Подробные Ответы
Конечно, вот извлечённый текст:
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство:
а) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AO}\);
б) \(\overrightarrow{BO} = k\overrightarrow{BD}\);
в) \(\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CA}\);
г) \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}\);
д) \(\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{DA}\);
е) \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{CA}\);
ж) \(\overrightarrow{MC} = k\overrightarrow{AM}\);
з) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{CM}\);
и) \(\overrightarrow{AO} = k\overrightarrow{BD}\).
Давайте рассмотрим решение задачи.
а) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AO}\); \(\overrightarrow{AC} \uparrow\uparrow \overrightarrow{AO}\)
\[k > 0 \Rightarrow |\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AO}| \Rightarrow k = 2\]
б) \(\overrightarrow{BO} = k\overrightarrow{BD}\); \(\overrightarrow{BO} \uparrow\uparrow \overrightarrow{BD}\)
\[k > 0 \Rightarrow |\overrightarrow{BO}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}| \Rightarrow k = \frac{1}{2}\]
в) \(\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CA}\); \(\overrightarrow{OC} \downarrow \overrightarrow{CA}\)
\[k < 0 \Rightarrow |\overrightarrow{OC}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}| \Rightarrow k = -\frac{1}{2}\]
г) \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{DC}\)
\[k > 0 \Rightarrow |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{DC}| \Rightarrow k = 1\]
д) \(\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{DA}\); \(\overrightarrow{BC} \downarrow \overrightarrow{DA}\)
\[k < 0 \Rightarrow |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}| \Rightarrow k = -1\]
е) \(\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{CA}\); \(\overrightarrow{AM} \downarrow \overrightarrow{CA}\)
\[k < 0 \Rightarrow |\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}| \Rightarrow k = -\frac{1}{4}\]
ж) \(\overrightarrow{MC} = k\overrightarrow{AM}\); \(\overrightarrow{MC} \uparrow\uparrow \overrightarrow{AM}\)
\[k > 0 \Rightarrow |\overrightarrow{MC}| = 3|\overrightarrow{AM}| \Rightarrow k = 3\]
з) \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{CM}\); \(\overrightarrow{AC} \downarrow \overrightarrow{CM}\)
\[k < 0 \Rightarrow |\overrightarrow{AC}| = \frac{4}{3}|\overrightarrow{CM}| \Rightarrow k = -\frac{4}{3}\]
и) \(\overrightarrow{AO} = k\overrightarrow{BD}\);
\(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BD}\) — неколлинеарны, следовательно их нельзя разложить.
Давайте подробно разберем каждую часть задачи.
а) Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AO}\). Так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке O и делятся пополам, то \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}\). Это означает, что \(k = 2\).
б) Для векторов \(\overrightarrow{BO}\) и \(\overrightarrow{BD}\), так как O — середина диагонали \(\overrightarrow{BD}\), получаем \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\). Следовательно, \(k = 0,5\).
в) Векторы \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{CA}\) имеют противоположное направление, и \(|\overrightarrow{OC}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}|\). Это дает \(k = -0,5\).
г) Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равны по длине и направлению, так как они противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, \(k = 1\).
д) Векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) равны по длине, но противоположны по направлению, так как они также противоположные стороны параллелограмма. Это дает \(k = -1\).
е) Для векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{CA}\), \(|\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}|\) и направления противоположны, следовательно, \(k = -0,25\).
ж) Векторы \(\overrightarrow{MC}\) и \(\overrightarrow{AM}\) имеют одно направление, и \(|\overrightarrow{MC}| = 3|\overrightarrow{AM}|\). Это дает \(k = 3\).
з) Векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CM}\) имеют противоположное направление, и \(|\overrightarrow{AC}| = \frac{4}{3}|\overrightarrow{CM}|\). Следовательно, \(k = -\frac{4}{3}\).
и) Для векторов \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{BD}\), так как они неколлинеарны, разложить их невозможно, и \(k\) не существует.
Таким образом, мы получили значения \(k\) для всех возможных случаев.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.