Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 911 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите такое число \( k \), чтобы выполнялось равенство \(\vec{n} = k\vec{m}\), если известно, что:
а) векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) противоположно направлены и \(|\vec{m}| = 0{,}5 \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = 2 \, \text{см}\);
б) векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены и \(|\vec{m}| = 12 \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = 24 \, \text{дм}\);
в) векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) противоположно направлены и \(|\vec{m}| = 400 \, \text{мм}\), \(|\vec{n}| = 4 \, \text{дм}\);
г) векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены и \(|\vec{m}| = \sqrt{2} \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = \sqrt{50} \, \text{см}\).
Для решения задачи найдем \( k \) из равенства \(\vec{n} = k\vec{m}\), учитывая направление векторов:
а) Векторы противоположно направлены, \(|\vec{m}| = 0{,}5 \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = 2 \, \text{см}\).
\[ 2 = 0{,}5 \cdot |k| \Rightarrow |k| = \frac{2}{0{,}5} = 4 \]
Так как векторы противоположно направлены, \( k < 0 \), значит \( k = -4 \).
б) Векторы сонаправлены, \(|\vec{m}| = 12 \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = 24 \, \text{дм} = 240 \, \text{см}\).
\[ 240 = 12 \cdot |k| \Rightarrow |k| = \frac{240}{12} = 20 \]
Сонаправленность векторов означает \( k > 0 \), значит \( k = 20 \).
в) Векторы противоположно направлены, \(|\vec{m}| = 400 \, \text{мм} = 40 \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = 4 \, \text{дм} = 40 \, \text{см}\).
\[ 40 = 40 \cdot |k| \Rightarrow |k| = \frac{40}{40} = 1 \]
Так как векторы противоположно направлены, \( k < 0 \), значит \( k = -1 \).
г) Векторы сонаправлены, \(|\vec{m}| = \sqrt{2} \, \text{см}\), \(|\vec{n}| = \sqrt{50} \, \text{см}\).
\[ \sqrt{50} = \sqrt{2} \cdot |k| \Rightarrow |k| = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5 \]
Сонаправленность векторов означает \( k > 0 \), значит \( k = 5 \).
Рассмотрим полное решение задачи по нахождению коэффициента \( k \) для каждого случая.
а) Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) противоположно направлены, и их длины составляют \(|\vec{m}| = 0{,}5 \, \text{см}\) и \(|\vec{n}| = 2 \, \text{см}\). Мы знаем, что векторы противоположно направлены, поэтому \( k \) будет отрицательным. Для нахождения модуля \( k \) используем равенство:
\[ |\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}| \]
\[ 2 = |k| \cdot 0{,}5 \]
\[ |k| = \frac{2}{0{,}5} = 4 \]
Так как \( k \) отрицательное, то \( k = -4 \).
б) Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, и их длины составляют \(|\vec{m}| = 12 \, \text{см}\) и \(|\vec{n}| = 24 \, \text{дм} = 240 \, \text{см}\). Векторы сонаправлены, следовательно, \( k \) будет положительным. Используем равенство:
\[ |\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}| \]
\[ 240 = |k| \cdot 12 \]
\[ |k| = \frac{240}{12} = 20 \]
Так как \( k \) положительное, то \( k = 20 \).
в) Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) противоположно направлены, и их длины составляют \(|\vec{m}| = 400 \, \text{мм} = 40 \, \text{см}\) и \(|\vec{n}| = 4 \, \text{дм} = 40 \, \text{см}\). Векторы противоположно направлены, поэтому \( k \) будет отрицательным. Используем равенство:
\[ |\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}| \]
\[ 40 = |k| \cdot 40 \]
\[ |k| = \frac{40}{40} = 1 \]
Так как \( k \) отрицательное, то \( k = -1 \).
г) Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) сонаправлены, и их длины составляют \(|\vec{m}| = \sqrt{2} \, \text{см}\) и \(|\vec{n}| = \sqrt{50} \, \text{см}\). Векторы сонаправлены, следовательно, \( k \) будет положительным. Используем равенство:
\[ |\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}| \]
\[ \sqrt{50} = |k| \cdot \sqrt{2} \]
\[ |k| = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \]
Так как \( k \) положительное, то \( k = 5 \).
Таким образом, для каждого случая мы нашли значение \( k \), учитывая направление векторов и их длины.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.