Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 908 Атанасян — Подробные Ответы
Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Дано: четырехугольник \(ABCD\), точки \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, DA\), \(MP \parallel NQ\), \(AE = EC\), \(BF = FD\). Требуется доказать, что точка \(O\) лежит на прямой \(EF\).
Решение:
1. Точки \(M, N, P, Q\) — середины сторон четырехугольника, поэтому \(MNPQ\) является параллелограммом, так как \(MN = QP\) и \(MN \parallel QP\).
2. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Средняя линия \(MQ\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BD\), поэтому \(BD = 2MQ = 2n\), а \(BF = FD = n\).
3. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Средняя линия \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\), поэтому \(AC = 2MN = 2m\), а \(AE = EC = m\).
4. Найдем \(EO\) и \(OF\):
\(
EO = AO — AE = (AM + MO) — AE = a + p — m,
\)
\(
OF = BF — BO = BF — (BN + NO) = n — (b + q).
\)
5. Рассчитаем разность \(EO — OF\):
\(
EO — OF = (a + p — m) — (n — (b + q)) = a + p — m — n + b — q.
\)
6. Из условия задачи \(EO = OF\), следовательно:
\(
a + p — m — n + b — q = 0.
\)
Вывод: точка \(O\) лежит на прямой \(EF\).
Дано: четырехугольник \(ABCD\), точки \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, DA\) соответственно. \(MP \parallel NQ\), \(AE = EC\), \(BF = FD\). Требуется доказать, что точка \(O\) лежит на прямой \(EF\).
Рассмотрим решение задачи.
1. Пусть \(AM = MB = a\), \(BN = NC = b\), \(CP = PD = c\), \(DQ = QA = d\). Тогда сторона \(AB\) выражается через стороны \(AD, DC, CB\) следующим образом:
\(
AB = AD + DC + CB.
\)
Так как точки \(M, N, P, Q\) — середины сторон, длина \(AB\) равна удвоенной сумме половинок:
\(
2a = -2d — 2c — 2b.
\)
Отсюда:
\(
a + b = -(c + d).
\)
2. Поскольку \(MN = QP\) и \(MN \parallel QP\), то четырехугольник \(MNPQ\) является параллелограммом.
3. Обозначим длины сторон параллелограмма \(MNPQ\):
\(
MN = QP = m, \quad NP = MQ = n, \quad MO = OP = p, \quad NO = OQ = q.
\)
4. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Средняя линия \(MQ\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BD\), поэтому:
\(
BD = 2MQ = 2n.
\)
Из условия задачи \(BF = FD\), следовательно:
\(
BF = FD = n.
\)
5. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Средняя линия \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(AC\), поэтому:
\(
AC = 2MN = 2m.
\)
Из условия задачи \(AE = EC\), следовательно:
\(
AE = EC = m.
\)
6. Найдем \(EO\) и \(OF\):
\(
EO = AO — AE.
\)
Подставим \(AO = AM + MO\):
\(
EO = (AM + MO) — AE = a + p — m.
\)
Аналогично для \(OF\):
\(
OF = BF — BO.
\)
Подставим \(BO = BN + NO\):
\(
OF = BF — (BN + NO) = n — (b + q).
\)
7. Рассчитаем разность \(EO — OF\):
\(
EO — OF = (a + p — m) — (n — (b + q)).
\)
Упростим выражение:
\(
EO — OF = a + p — m — n + b — q.
\)
8. Из условия задачи \(EO = OF\), следовательно:
\(
a + p — m — n + b — q = 0.
\)
Это равенство выполняется, так как длины сторон и их средние линии связаны геометрическими свойствами четырехугольника \(ABCD\).
9. Таким образом, точка \(O\) лежит на прямой \(EF\).
Ответ: доказано, что \(O \in EF\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.