ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 907 Атанасян — Подробные Ответы

907 Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + l + m = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство k\(\overrightarrow{OA}\) + l\(\overrightarrow{OB}\) + m\(\overrightarrow{OC}\) = \(\overrightarrow{0}\).

Дано: точки \( A \), \( B \), \( C \) лежат на одной прямой, \( O \) — произвольная точка. Нужно доказать, что существуют числа \( k \), \( l \), \( m \), одновременно не равные нулю, такие, что \( k + l + m = 0 \) и выполняется равенство \( k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \).

Решение:

1. Разложим векторы \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \), \( \overrightarrow{OC} \) на составляющие \( \overrightarrow{OA’} \), \( \overrightarrow{OB’} \), \( \overrightarrow{OC’} \), параллельные прямой \( AC \), и составляющую \( \overrightarrow{OE} \), перпендикулярную прямой \( AC \).

2. Введём единичный вектор \( \vec{e} \), параллельный прямой \( AC \).

3. Запишем равенство:
\[
k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OE}) + l(\overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OE}) + m(\overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{OE}).
\]
Это преобразуется в:
\[
k\overrightarrow{OA’} + l\overrightarrow{OB’} + m\overrightarrow{OC’} + (k + l + m)\overrightarrow{OE}.
\]
Для выполнения равенства \( k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} \) необходимо, чтобы \( k + l + m = 0 \). Тогда остаётся только горизонтальная составляющая:
\[
-k \cdot AE — l \cdot BE + m \cdot EC = 0,
\]
где \( AE \), \( BE \), \( EC \) — проекции векторов на прямую \( AC \).

4. Пусть \( k = 1 \). Тогда:
\[
AE — BE + m \cdot EC = 0,\quad k + l + m = 0.
\]
Преобразуем:
\[
m = \frac{AB}{BC},\quad l = -m — 1 = -\frac{AB}{BC} — 1.
\]

5. Подставим значения \( k \), \( l \), \( m \) в уравнение:
\[
(-k \cdot AE — l \cdot BE + m \cdot EC)\vec{e} = (-AE + \left(-\frac{AB}{BC} — 1\right)BE + \frac{AB}{BC}EC)\vec{e}.
\]
После упрощений:
\[
-AE + BE + \frac{AB}{BC}(BE + EC)\vec{e} = (-AB + AB)\vec{e} = \overrightarrow{0}.
\]

Таким образом, доказано, что точки \( A \), \( B \), \( C \) лежат на одной прямой, если выполняются условия задачи.

Дано: точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, \(O\) — произвольная точка. Требуется доказать, что существуют числа \(k\), \(l\), \(m\), одновременно не равные нулю, такие, что \(k + l + m = 0\) и выполняется равенство \(k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\).

Решение:

1. Разложим векторы \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \), \( \overrightarrow{OC} \) на составляющие:
— \( \overrightarrow{OA’} \), \( \overrightarrow{OB’} \), \( \overrightarrow{OC’} \) — параллельные прямой \(AC\);
— \( \overrightarrow{OE} \) — перпендикулярную прямой \(AC\).

Таким образом, можно записать:
\[
\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OE}, \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OE}, \quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{OE}.
\]

2. Введём единичный вектор \( \vec{e} \), параллельный прямой \(AC\). Тогда проекции векторов \( \overrightarrow{OA’} \), \( \overrightarrow{OB’} \), \( \overrightarrow{OC’} \) на прямую \(AC\) можно выразить через скалярные величины \(AE\), \(BE\), \(EC\):
\[
\overrightarrow{OA’} = AE \cdot \vec{e}, \quad \overrightarrow{OB’} = BE \cdot \vec{e}, \quad \overrightarrow{OC’} = EC \cdot \vec{e}.
\]

3. Подставим разложения в исходное равенство:
\[
k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = k(\overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OE}) + l(\overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OE}) + m(\overrightarrow{OC’} + \overrightarrow{OE}).
\]
Раскроем скобки:
\[
k\overrightarrow{OA’} + l\overrightarrow{OB’} + m\overrightarrow{OC’} + (k + l + m)\overrightarrow{OE}.
\]
Для выполнения равенства \(k\overrightarrow{OA} + l\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}\) необходимо, чтобы \(k + l + m = 0\). Тогда остаётся только горизонтальная составляющая:
\[
k \cdot AE + l \cdot BE + m \cdot EC = 0.
\]

4. Пусть \(k = 1\). Тогда уравнение принимает вид:
\[
AE + l \cdot BE + m \cdot EC = 0, \quad k + l + m = 0.
\]
Из второго равенства \(l + m = -1\). Подставим это в первое уравнение:
\[
AE + (-1 — m) \cdot BE + m \cdot EC = 0.
\]
Преобразуем:
\[
AE — BE — m \cdot BE + m \cdot EC = 0.
\]
Выразим \(m\):
\[
m \cdot (EC — BE) = BE — AE.
\]
Следовательно:
\[
m = \frac{BE — AE}{EC — BE}.
\]

5. Чтобы выразить \(l\), используем \(l = -1 — m\):
\[
l = -1 — \frac{BE — AE}{EC — BE}.
\]

6. Теперь подставим значения \(k\), \(l\), \(m\) в исходное равенство:
\[
k \cdot AE + l \cdot BE + m \cdot EC = 0.
\]
После всех преобразований получим:
\[
-AE + BE + \frac{AB}{BC}(BE + EC) = 0.
\]
Упростим выражение:
\[
(-AB + AB)\vec{e} = \overrightarrow{0}.
\]

Таким образом, доказано, что точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной прямой, если выполняются условия задачи.