Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 906 Атанасян — Подробные Ответы
906 Дан треугольник АВС. Докажите, что вектор
\[
\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор
\[
\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} — \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.
Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Векторы \( \overrightarrow{AF} \) и \( \overrightarrow{AF’} \) заданы следующим образом:
\[
\overrightarrow{AF} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
\[
\overrightarrow{AF’} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} — \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
Докажем, что \( \overrightarrow{AF} \) лежит на биссектрисе внутреннего угла \( A \), а \( \overrightarrow{AF’} \) — на биссектрисе внешнего угла при вершине \( A \).
1. Обозначим:
\[
\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}, \quad \overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
Эти векторы являются единичными, так как их длина равна 1. Следовательно, концы векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AE} \) лежат на окружности с центром в точке \( A \).
2. Вектор \( \overrightarrow{AF} \) можно записать как сумму:
\[
\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}
\]
По правилу параллелограмма, \( \overrightarrow{AF} \) является диагональю параллелограмма \( AEDF \). Так как длина всех сторон параллелограмма равна 1, он является ромбом. Диагональ ромба совпадает с биссектрисой угла \( \angle BAC \). Следовательно, \( \overrightarrow{AF} \) лежит на биссектрисе внутреннего угла \( A \).
3. Вектор \( \overrightarrow{AF’} \) можно записать как разность:
\[
\overrightarrow{AF’} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AE}
\]
Или эквивалентно:
\[
\overrightarrow{AF’} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE’}
\]
где \( \overrightarrow{AE’} = -\overrightarrow{AE} \). По правилу параллелограмма, \( \overrightarrow{AF’} \) является диагональю параллелограмма \( AE’F’D \). Так как длина всех сторон параллелограмма равна 1, он также является ромбом. Диагональ ромба совпадает с биссектрисой внешнего угла при вершине \( A \). Следовательно, \( \overrightarrow{AF’} \) лежит на биссектрисе внешнего угла.
Таким образом, доказано, что:
— \( \overrightarrow{AF} \) лежит на биссектрисе внутреннего угла \( A \);
— \( \overrightarrow{AF’} \) лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине \( A \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), где заданы векторы:
\[
\overrightarrow{AF} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
\[
\overrightarrow{AF’} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} — \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
Необходимо доказать, что вектор \( \overrightarrow{AF} \) лежит на биссектрисе внутреннего угла \( \angle BAC \), а вектор \( \overrightarrow{AF’} \) лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине \( A \).
1. Обозначим:
\[
\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}, \quad \overrightarrow{AE} = \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}
\]
Эти векторы являются единичными, так как их длина равна 1:
\[
|\overrightarrow{AD}| = 1, \quad |\overrightarrow{AE}| = 1
\]
Следовательно, концы векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AE} \) лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке \( A \).
2. Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AF} \):
\[
\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}
\]
По правилу параллелограмма, сумма двух векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AE} \) задаёт диагональ параллелограмма \( AEDF \). Поскольку длина сторон параллелограмма равна 1, он является ромбом.
Диагональ ромба, проведённая из вершины \( A \), совпадает с биссектрисой угла \( \angle BAC \), так как ромб симметричен относительно этой диагонали. Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AF} \) лежит на биссектрисе внутреннего угла \( \angle BAC \).
3. Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AF’} \):
\[
\overrightarrow{AF’} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AE}
\]
Преобразуем выражение:
\[
\overrightarrow{AF’} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE’}
\]
где \( \overrightarrow{AE’} = -\overrightarrow{AE} \).
По правилу параллелограмма, сумма векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AE’} \) задаёт диагональ параллелограмма \( AE’F’D \). Поскольку длина сторон этого параллелограмма равна 1, он также является ромбом.
Диагональ ромба, проведённая из вершины \( A \), совпадает с биссектрисой внешнего угла при вершине \( A \), так как ромб симметричен относительно этой диагонали. Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AF’} \) лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине \( A \).
4. Итог:
Мы доказали, что:
\[
\overrightarrow{AF} \text{ лежит на биссектрисе внутреннего угла } \angle BAC,
\]
\[
\overrightarrow{AF’} \text{ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине } A.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.