Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 905 Атанасян — Подробные Ответы
Даны четырёхугольник \( ABCD \) и точка \( O \). Точки \( E, F, G \) и \( H \) симметричны точке \( O \) относительно середин сторон \( AB, BC, CD \) и \( DA \) соответственно. Что представляет собой четырёхугольник \( EFGH \)?
Решение задачи:
1. Найдём вид четырёхугольника \( MNPQ \):
Пусть \( AM = MB = a \), \( BN = NC = b \), \( CP = PD = c \), \( DQ = QA = d \). Тогда:
\[
AB = AD + DC + CB; \quad 2a = -2d — 2c — 2b; \quad MN = -QP, \quad MN \parallel QP \, \text{и} \, MN = QP.
\]
Следовательно, \( MNPQ \) — параллелограмм.
2. Точки \( E, F, G, H \) симметричны точке \( O \) относительно точек \( M, N, P, Q \), то есть:
\[
OM = ME, \quad ON = NF, \quad OP = PG, \quad OQ = QH.
\]
3. В треугольнике \( OEF \):
\( MN \) — средняя линия, значит \( EF = 2MN \, \text{и} \, MN \parallel EF. \)
4. Аналогично:
\[
HG = 2QP \, \text{и} \, HG \parallel QP, \quad EH = 2MQ \, \text{и} \, EH \parallel MQ, \quad FG = 2NP \, \text{и} \, FG \parallel NP.
\]
5. Следовательно:
\[
HG = EF \, \text{и} \, HG \parallel EF, \quad EH = FG \, \text{и} \, EH \parallel FG.
\]
Таким образом, \( EFGH \) — параллелограмм, каждая сторона которого в два раза больше стороны четырёхугольника \( MNPQ \).
Ответ: \( EFGH \) — параллелограмм.
Решение задачи:
1. Найдём вид четырёхугольника \( MNPQ \).
Пусть \( AM = MB = a \), \( BN = NC = b \), \( CP = PD = c \), \( DQ = QA = d \). Тогда:
\[
AB = AD + DC + CB
\]
С учётом введённых обозначений:
\[
AB = 2a, \quad AD = -2d, \quad DC = -2c, \quad CB = -2b
\]
Отсюда:
\[
2a = -2d — 2c — 2b
\]
Таким образом, получаем, что \( MN = -QP \), а также \( MN \parallel QP \) и \( MN = QP \).
Следовательно, \( MNPQ \) — параллелограмм.
2. Определим точки \( E, F, G, H \).
Точки \( E, F, G, H \) симметричны точке \( O \) относительно точек \( M, N, P, Q \). Это значит, что:
\[
OM = ME, \quad ON = NF, \quad OP = PG, \quad OQ = QH
\]
3. Рассмотрим треугольник \( OEF \).
Так как \( MN \) — средняя линия четырёхугольника \( MNPQ \), то:
\[
EF = 2MN, \quad MN \parallel EF
\]
4. Аналогично для остальных сторон:
\[
HG = 2QP, \quad HG \parallel QP
\]
\[
EH = 2MQ, \quad EH \parallel MQ
\]
\[
FG = 2NP, \quad FG \parallel NP
\]
5. Докажем, что \( EFGH \) — параллелограмм.
Из предыдущих шагов видно, что:
\[
HG = EF, \quad HG \parallel EF
\]
\[
EH = FG, \quad EH \parallel FG
\]
Следовательно, \( EFGH \) — параллелограмм.
Кроме того, каждая сторона \( EFGH \) в два раза больше соответствующей стороны четырёхугольника \( MNPQ \).
Ответ: \( EFGH \) — параллелограмм.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.