ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 898 Атанасян — Подробные Ответы

Даны окружность с центром \( O \), точка \( M \) и отрезки \( P_1Q_1 \) и \( P_2Q_2 \). Постройте прямую \( r \) так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную \( P_1Q_1 \), и расстояние от точки \( M \) до прямой \( r \) равнялось \( P_2Q_2 \).  

Рассмотрим задачу построения прямой \( p \), которая отсекала бы хорду, равную \( P_1Q_1 \), и находилась на расстоянии \( P_2Q_2 \) от заданной точки.

1. Выбираем произвольную точку \( A \) на окружности и проводим хорду \( AB \), такую что длина \( AB = P_1Q_1 \). Для этого измеряем длину \( P_1Q_1 \) циркулем и откладываем её на окружности.

2. Находим середину отрезка \( AB \). Обозначаем эту точку как \( C \). Середина находится с помощью построения серединного перпендикуляра к \( AB \).

3. Строим окружность с центром в точке \( O \) (центр данной окружности) и радиусом \( OC \), где \( OC \) — расстояние от центра окружности до точки \( C \).

4. Строим вторую окружность с центром в точке \( M \) и радиусом \( P_2Q_2 \). Радиус \( P_2Q_2 \) измеряем циркулем.

5. Находим общую касательную к двум построенным окружностям: \( (O; OC) \) и \( (M; P_2Q_2) \). Прямая \( p \), являющаяся общей касательной, и будет искомой.

Таким образом, прямая \( p \) удовлетворяет условиям задачи.

Полное решение задачи:

1. Построение хорды AB.
Выбираем произвольную точку A на окружности и проводим хорду AB так, чтобы её длина была равна P₁Q₁. Для этого измеряем длину отрезка P₁Q₁ циркулем или линейкой и откладываем её от точки A вдоль окружности, получая точку B. Убедимся, что длина AB = P₁Q₁.

2. Нахождение середины хорды AB.
Строим серединный перпендикуляр к хорде AB, используя стандартный метод:
— Откладываем равные дуги с концов A и B, чтобы получить две пересекающиеся точки.
— Соединяем эти точки прямой, которая пересекает AB в её середине.
Обозначаем середину хорды как точку C.

3. Построение окружности с центром O и радиусом OC.
Центр окружности O — это центр данной окружности, на которой расположена хорда AB. Радиус окружности равен расстоянию OC, где C — середина хорды AB.
Для построения окружности используем циркуль:
— Устанавливаем циркуль в точку O, измеряем длину OC и проводим окружность.

4. Построение окружности с центром M и радиусом P₂Q₂.
Точка M дана в задаче. Радиус окружности равен длине отрезка P₂Q₂.
Для построения окружности:
— Устанавливаем циркуль в точку M, измеряем длину P₂Q₂ и проводим окружность.

5. Нахождение общей касательной p к двум окружностям.
Общая касательная p к окружностям (O; OC) и (M; P₂Q₂) находится следующим образом:
— Строим линии, соединяющие центры окружностей O и M.
— Находим точки касания окружностей с общей касательной. Для этого из каждой окружности проводим радиусы, перпендикулярные предполагаемой касательной.
— Соединяем точки касания прямой p.
Убедимся, что прямая p удовлетворяет условиям задачи:
а) она отсекла хорду длиной P₁Q₁;
б) расстояние от прямой p до точки M равно P₂Q₂.

Таким образом, построение завершено, и прямая p является искомой.