Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 896 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симсона).
Дано: точка \( D \) — произвольная точка окружности, описанной около \( \triangle ABC \). Условие: \( DE \perp AB \), \( DG \perp CB \), \( DF \perp AC \). Требуется доказать, что точки \( E \), \( F \), \( G \) лежат на одной прямой.
Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник \( AEFD \). Углы \( \angle AED \) и \( \angle AFD \) являются смежными, их сумма равна \( 180^\circ \). Следовательно, около четырехугольника \( AEFD \) можно описать окружность, а значит,
\[
\angle AFE = \angle ADE.
\]
2. Рассмотрим четырехугольник \( DFCG \). Углы \( \angle DFC \) и \( \angle DGC \) также смежные, их сумма равна \( 180^\circ \). Следовательно, около четырехугольника \( DFCG \) можно описать окружность, а значит,
\[
\angle CFG = \angle CDG.
\]
3. Точки \( A, B, C, D \) лежат на одной окружности, описанной около \( \triangle ABC \). Следовательно, углы \( \angle BAD \) и \( \angle BCD \) вписанные и равны:
\[
\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ.
\]
4. Угол \( \angle DCG \) равен \( 180^\circ — \angle DCB \) по свойству смежных углов:
\[
\angle DCG = 180^\circ — \angle DCB.
\]
5. Угол \( \angle EAD \) равен \( 180^\circ — \angle BAD \), а угол \( \angle BAD \) равен \( \angle DCB \). Следовательно:
\[
\angle EAD = 180^\circ — \angle DCB = \angle DCG.
\]
6. Углы \( \angle CFG \), \( \angle CDG \), \( \angle DCG \), \( \angle EAD \), \( \angle ADE \), \( \angle AFE \) связаны следующим образом:
\[
\angle CFG = \angle AFE.
\]
Таким образом, точки \( E \), \( F \), \( G \) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Дано: точка \( D \) — произвольная точка окружности, описанной около треугольника \( \triangle ABC \). Условие: \( DE \perp AB \), \( DG \perp CB \), \( DF \perp AC \). Требуется доказать, что точки \( E \), \( F \), \( G \) лежат на одной прямой.
Решение:
1. Рассмотрим четырехугольник \( AEFD \). Углы \( \angle AED \) и \( \angle AFD \) являются смежными, их сумма равна \( 180^\circ \), так как они образуют развернутый угол вокруг точки \( D \). Следовательно, около четырехугольника \( AEFD \) можно описать окружность. Вписанный угол \( \angle AFE \) равен вписанному углу \( \angle ADE \), опирающемуся на ту же дугу. Таким образом:
\[
\angle AFE = \angle ADE.
\]
2. Рассмотрим четырехугольник \( DFCG \). Углы \( \angle DFC \) и \( \angle DGC \) также являются смежными, их сумма равна \( 180^\circ \), так как они образуют развернутый угол вокруг точки \( D \). Следовательно, около четырехугольника \( DFCG \) можно описать окружность. Вписанный угол \( \angle CFG \) равен вписанному углу \( \angle CDG \), опирающемуся на ту же дугу. Таким образом:
\[
\angle CFG = \angle CDG.
\]
3. Точки \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) лежат на одной окружности, описанной вокруг треугольника \( \triangle ABC \). Следовательно, углы \( \angle BAD \) и \( \angle BCD \) являются вписанными углами, опирающимися на противоположные дуги окружности, и их сумма равна \( 180^\circ \):
\[
\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ.
\]
4. Угол \( \angle DCG \) равен \( 180^\circ — \angle DCB \) по свойству смежных углов. Так как \( \angle DCB \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AB \), то:
\[
\angle DCG = 180^\circ — \angle DCB.
\]
5. Угол \( \angle EAD \) является внешним углом для треугольника \( \triangle ABD \), а угол \( \angle BAD \) является внутренним углом. Следовательно,
\[
\angle EAD = 180^\circ — \angle BAD.
\]
Заменяя \( \angle BAD \) на \( \angle DCB \), так как они равны (оба опираются на одну дугу \( AB \)), получаем:
\[
\angle EAD = 180^\circ — \angle DCB.
\]
Таким образом:
\[
\angle EAD = \angle DCG.
\]
6. Углы \( \angle CFG \), \( \angle CDG \), \( \angle DCG \), \( \angle EAD \), \( \angle ADE \), \( \angle AFE \) связаны следующим образом:
\[
\angle CFG = \angle CDG = \angle DCG = \angle EAD = \angle ADE = \angle AFE.
\]
Следовательно, точки \( E \), \( F \), \( G \) лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.