Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 894 Атанасян — Подробные Ответы
894
Докажите, что в любом треугольнике радиус \( R \) описанной окружности, радиус \( r \) вписанной окружности и расстояние \( d \) между центрами этих окружностей связаны равенством \( d^2 = R^2 — 2Rr \) (формула Эйлера).
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), окружность с центром \( M \) и радиусом \( r \), окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \), расстояние между центрами окружностей \( d = OM \). Требуется доказать: \( d^2 = R^2 — 2Rr \).
Решение:
1. Проведем через точку \( M \) диаметр описанной окружности \( PQ \), а также биссектрисы \( AM \) и \( BM \).
2. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:
\[
PM \cdot MQ = AM \cdot MA_1,
\]
где \( PM = R + d \), \( MQ = R — d \). Тогда:
\[
(R + d)(R — d) = AM \cdot MA_1.
\]
3. Так как \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — биссектрисы, то:
\[
\angle BMA_1 = \frac{\angle BA_1 + \angle AB_1}{2}.
\]
Следовательно, треугольник \( \triangle AMA_1B \) равнобедренный.
4. Из равнобедренности треугольника:
\[
(R + d)(R — d) = AM \cdot BA_1.
\]
5. Проведем диаметр \( A_1A_2 \) описанной окружности. Пусть \( K \) — точка касания вписанной окружности со стороной \( AB \).
6. Треугольник \( \triangle A_1A_2B \) прямоугольный (так как опирается на диаметр), треугольник \( \triangle AMK \) также прямоугольный. Из подобия треугольников:
\[
\frac{MK}{BA_1} = \frac{AM}{A_1A_2},
\]
а также:
\[
\frac{r}{BA_1} = \frac{AM}{2R}.
\]
7. Подставим:
\[
AM \cdot BA_1 = 2Rr.
\]
Тогда:
\[
(R + d)(R — d) = 2Rr.
\]
Раскроем скобки:
\[
R^2 — d^2 = 2Rr.
\]
Отсюда:
\[
d^2 = R^2 — 2Rr.
\]
Что и требовалось доказать.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), окружность с центром \( M \) и радиусом \( r \), окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \), расстояние между центрами окружностей \( d = OM \). Требуется доказать: \( d^2 = R^2 — 2Rr \).
Решение:
1. Проведем через точку \( M \) диаметр описанной окружности \( PQ \), а также биссектрисы \( AM \) и \( BM \). Диаметр \( PQ \) проходит через центр \( M \), а биссектрисы \( AM \) и \( BM \) делят углы треугольника \( \triangle ABC \).
2. Применим теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд:
\[
PM \cdot MQ = AM \cdot MA_1,
\]
где \( PM = R + d \), \( MQ = R — d \). Тогда:
\[
(R + d)(R — d) = AM \cdot MA_1.
\]
Раскроем скобки:
\[
R^2 — d^2 = AM \cdot MA_1.
\]
3. Так как \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — биссектрисы, то угол между биссектрисами \( AM \) и \( BM \) равен половине суммы углов \( \angle BA_1 \) и \( \angle AB_1 \):
\[
\angle BMA_1 = \frac{\angle BA_1 + \angle AB_1}{2}.
\]
Следовательно, треугольник \( \triangle AMA_1B \) равнобедренный.
4. Из равнобедренности треугольника \( \triangle AMA_1B \) следует, что:
\[
(R + d)(R — d) = AM \cdot BA_1.
\]
Таким образом, произведение радиусов описанной окружности и расстояния между центрами связано с длиной биссектрисы \( AM \) и отрезком \( BA_1 \).
5. Проведем диаметр \( A_1A_2 \) описанной окружности. Пусть \( K \) — точка касания вписанной окружности со стороной \( AB \). Треугольник \( \triangle A_1A_2B \) прямоугольный, так как опирается на диаметр \( A_1A_2 \), а треугольник \( \triangle AMK \) также прямоугольный.
6. Рассмотрим подобие треугольников \( \triangle AMK \) и \( \triangle A_1A_2B \). Из подобия следует:
\[
\frac{MK}{BA_1} = \frac{AM}{A_1A_2}.
\]
Кроме того, известно, что:
\[
\frac{r}{BA_1} = \frac{AM}{2R}.
\]
Таким образом, из пропорции можно выразить связь между радиусами окружностей \( r \) и \( R \), а также длиной отрезков \( BA_1 \) и \( AM \).
7. Подставим значение \( AM \cdot BA_1 = 2Rr \) в уравнение из пункта 2:
\[
(R + d)(R — d) = 2Rr.
\]
Раскроем скобки:
\[
R^2 — d^2 = 2Rr.
\]
Отсюда:
\[
d^2 = R^2 — 2Rr.
\]
Таким образом, доказательство завершено. Полученное выражение \( d^2 = R^2 — 2Rr \) соответствует условиям задачи и подтверждает связь между радиусами окружностей \( R \) и \( r \), а также расстоянием между их центрами \( d \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.