Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 892 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\) и \(\angle A = 90^\circ\). Нужно доказать, что площадь трапеции \(S_{ABCD} = AD \cdot BC\).
1. Отметим точки касания окружности со сторонами трапеции: \(E, F, G, H\).
2. Рассмотрим прямоугольник \(ABFH\), так как \(OH \perp AD\), \(OF \perp BC\), и \(O \in EH\). Следовательно, \(FH = AB = 2r = h\), \(BF = AH = OE = r\).
3. Опустим высоту \(CK \perp AD\). Тогда:
\[
CK^2 = h^2 = CD^2 — KD^2,
\]
где \(KD = AD — BC\). Значит:
\[
CK^2 = h^2 = CD^2 — (AD — BC)^2.
\]
4. По свойству описанного четырехугольника:
\[
AD + BC = AB + CD.
\]
5. Выразим \(CD\):
\[
CD = AD + BC — AB = AD + BC — h.
\]
Подставим это в формулу высоты \(CK\):
\[
h^2 = (AD + BC — h)^2 — (AD — BC)^2.
\]
Раскроем скобки:
\[
h^2 = (AD + BC)^2 — 2h(AD + BC) + h^2 — (AD — BC)^2.
\]
Сократим \(h^2\):
\[
2h(AD + BC) = (AD + BC)^2 — (AD — BC)^2.
\]
Вычислим разность квадратов:
\[
2h(AD + BC) = (AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2) — (AD^2 — 2AD \cdot BC + BC^2).
\]
Сокращаем:
\[
2h(AD + BC) = 4AD \cdot BC.
\]
Найдём \(h\):
\[
h(AD + BC) = 2AD \cdot BC.
\]
Разделим на \(2\):
\[
S_{ABCD} = \frac{h(AD + BC)}{2} = AD \cdot BC.
\]
Таким образом, доказательство завершено.
Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AD \parallel BC\) и \(\angle A = 90^\circ\). Необходимо доказать, что площадь трапеции \(S_{ABCD} = AD \cdot BC\).
1. Отметим точки касания окружности со сторонами трапеции: \(E, F, G, H\). Эти точки касания определяют положение вписанной окружности внутри трапеции.
2. Рассмотрим четырехугольник \(ABFH\), который образуется соединением точек \(A, B, F, H\):
— Так как \(OH \perp AD\) и \(OF \perp BC\), а также \(O \in EH\), то \(ABFH\) является прямоугольником.
— Следовательно, длина стороны \(FH = AB = h\), где \(h = 2r\), а \(BF = AH = OE = r\).
3. Опустим высоту \(CK\), перпендикулярную стороне \(AD\). Тогда:
\[
CK^2 = h^2 = CD^2 — KD^2,
\]
где \(KD = AD — BC\). Из этого следует:
\[
CK^2 = h^2 = CD^2 — (AD — BC)^2.
\]
4. По свойству описанного четырехугольника, сумма противоположных сторон равна:
\[
AD + BC = AB + CD.
\]
5. Выразим сторону \(CD\) через другие стороны трапеции:
\[
CD = AD + BC — AB.
\]
Подставим значение \(AB = h\), получаем:
\[
CD = AD + BC — h.
\]
6. Подставим \(CD = AD + BC — h\) в формулу высоты \(CK\):
\[
h^2 = (AD + BC — h)^2 — (AD — BC)^2.
\]
7. Раскроем скобки:
\[
h^2 = (AD + BC)^2 — 2h(AD + BC) + h^2 — (AD — BC)^2.
\]
Сократим \(h^2\) с обеих сторон:
\[
2h(AD + BC) = (AD + BC)^2 — (AD — BC)^2.
\]
8. Разность квадратов раскрывается следующим образом:
\[
2h(AD + BC) = (AD^2 + 2AD \cdot BC + BC^2) — (AD^2 — 2AD \cdot BC + BC^2).
\]
Сокращаем одинаковые члены:
\[
2h(AD + BC) = 4AD \cdot BC.
\]
9. Найдем \(h\):
\[
h(AD + BC) = 2AD \cdot BC.
\]
10. Площадь трапеции равна:
\[
S_{ABCD} = \frac{h(AD + BC)}{2} = AD \cdot BC.
\]
Таким образом, доказательство завершено. Площадь трапеции действительно равна произведению её оснований \(AD\) и \(BC\).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.