Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 890 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Дано: четырехугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под прямым углом.
Требуется доказать: \(AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2\), где \(R\) — радиус описанной окружности.
Решение:
1. Отметим точку пересечения диагоналей \(E = AC \cap BD\).
2. По теореме Пифагора:
\[
AB^2 + CD^2 = AE^2 + BE^2 + DE^2 + CE^2,
AD^2 + BC^2 = AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2.
\]
3. Проведем диаметр \(AA’\) окружности, описанной вокруг четырехугольника \(ABCD\).
4. Треугольники \(DBA’\) и \(CDA’\) прямоугольные, так как опираются на диаметр окружности. Углы:
\[
\angle DBA’ = 90^\circ — \angle ABD, \quad \angle CDA’ = 90^\circ — \angle ACD.
\]
Следовательно, \(\angle DBA’ = \angle CDB\).
5. Рассмотрим треугольники \(DBC\) и \(BDA’\).
Углы:
\[
\angle DCB = \angle BA’D, \quad \angle CDB = \angle DBA’.
\]
Общая сторона \(DB\), следовательно, треугольники \(DBC\) и \(BDA’\) равны. Тогда:
\[
BA’ = CD.
\]
6. В треугольнике \(ABA’\):
\[
AA’^2 = AB^2 + BA’^2 = AB^2 + CD^2 = (2R)^2.
\]
Таким образом, доказано, что \(AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2\), что и требовалось доказать.
Дано: четырехугольник \(ABCD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются под прямым углом.
Требуется доказать: \(AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2\), где \(R\) — радиус описанной окружности.
Решение:
1. Обозначим точку пересечения диагоналей \(E = AC \cap BD\). Диагонали пересекаются под прямым углом, то есть \(\angle AEB = \angle CED = 90^\circ\).
2. Рассмотрим теорему Пифагора для четырёхугольника.
Сумма квадратов двух противоположных сторон выражается через длины отрезков диагоналей:
\[
AB^2 + CD^2 = AE^2 + BE^2 + DE^2 + CE^2.
\]
Аналогично для другой пары противоположных сторон:
\[
AD^2 + BC^2 = AE^2 + DE^2 + BE^2 + CE^2.
\]
3. Проведём диаметр \(AA’\) окружности, описанной вокруг четырёхугольника \(ABCD\). Точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности, а диаметр \(AA’\) проходит через центр окружности.
4. Рассмотрим треугольники \(DBA’\) и \(CDA’\). Эти треугольники прямоугольные, так как их гипотенузы опираются на диаметр окружности. Углы при вершинах:
\[
\angle DBA’ = 90^\circ — \angle ABD, \quad \angle CDA’ = 90^\circ — \angle ACD.
\]
Из этого следует, что углы \(\angle DBA’\) и \(\angle CDB\) равны.
5. Рассмотрим треугольники \(DBC\) и \(BDA’\).
В этих треугольниках:
\[
\angle DCB = \angle BA’D, \quad \angle CDB = \angle DBA’.
\]
Кроме того, они имеют общую сторону \(DB\). Следовательно, треугольники \(DBC\) и \(BDA’\) равны по двум углам и стороне. Из равенства треугольников следует:
\[
BA’ = CD.
\]
6. Теперь рассмотрим треугольник \(ABA’\), который также является прямоугольным, так как \(AA’\) — диаметр окружности. По теореме Пифагора:
\[
AA’^2 = AB^2 + BA’^2.
\]
Подставим \(BA’ = CD\):
\[
AA’^2 = AB^2 + CD^2.
\]
7. Диаметр окружности равен \(2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности. Тогда:
\[
AA’^2 = (2R)^2.
\]
Таким образом, доказано, что:
\[
AB^2 + CD^2 = (2R)^2.
\]
Аналогично можно доказать, что:
\[
AD^2 + BC^2 = (2R)^2.
\]
Итог: \(AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 = (2R)^2\), что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.