ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 885 Атанасян — Подробные Ответы

Через каждую вершину треугольника \( ABC \) проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника \( ABC \).  

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \), его биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \).
Прямые \( C_2B_2 \perp AA_2 \), \( A_2C_2 \perp BB_2 \), \( A_2B_2 \perp CC_2 \).

Доказать:
\( A_2 \in AA_1 \), \( B_2 \in BB_1 \), \( C_2 \in CC_1 \).

Решение:

1. Прямые, перпендикулярные к биссектрисам внутренних углов треугольника, являются биссектрисами соответствующих внешних углов. Следовательно:
\(
A_2B_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle C,
\)
\(
A_2C_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle B,
\)
\(
B_2C_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle A.
\)

2. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон, которые этот угол образует. Следовательно:
\(
B_2 \in B_2C_2 \text{ и } A_2B_2, \text{ то есть } B_2 \text{ равноудалена от сторон } AB \text{ и } BC.
\)
Аналогично для точек \( A_2 \) и \( C_2 \).

3. Таким образом:
\(
A_2 \in AA_1, \quad B_2 \in BB_1, \quad C_2 \in CC_1.
\)

Что и требовалось доказать.

Дано:
Треугольник \( \triangle ABC \), его биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \).
Прямые \( C_2B_2 \perp AA_2 \), \( A_2C_2 \perp BB_2 \), \( A_2B_2 \perp CC_2 \).

Доказать:
\( A_2 \in AA_1 \), \( B_2 \in BB_1 \), \( C_2 \in CC_1 \).

Решение:

1. Рассмотрим свойства биссектрис треугольника.
Биссектриса внутреннего угла делит угол на две равные части и проходит через одну из вершин треугольника. Прямые, перпендикулярные к биссектрисам внутренних углов, являются биссектрисами соответствующих внешних углов.
Следовательно:
\(
A_2B_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle C,
\)
\(
A_2C_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle B,
\)
\(
B_2C_2 \text{ — биссектриса внешнего угла } \angle A.
\)

2. Теперь обратимся к свойству биссектрис.
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон, которые этот угол образуют. Это свойство справедливо как для внутренних, так и для внешних углов. Поэтому можно записать:
\(
B_2 \in B_2C_2 \text{ и } A_2B_2, \text{ то есть } B_2 \text{ равноудалена от сторон } AB \text{ и } BC.
\)
Аналогично для точек \( A_2 \) и \( C_2 \):
\(
A_2 \text{ равноудалена от сторон } AB \text{ и } AC,
\)
\(
C_2 \text{ равноудалена от сторон } BC \text{ и } AC.
\)

3. Таким образом, точки \( A_2 \), \( B_2 \), \( C_2 \) принадлежат соответствующим биссектрисам внутренних углов треугольника:
\(
A_2 \in AA_1, \quad B_2 \in BB_1, \quad C_2 \in CC_1.
\)

4. Вывод:
Доказано, что точки \( A_2 \), \( B_2 \), \( C_2 \) принадлежат биссектрисам \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \).

Что и требовалось доказать.