ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 881 Атанасян — Подробные Ответы

881
Докажите, что для всех хорд \(AB\) данной окружности величина \(\frac{AB^2}{AD}\), где \(AD\) — расстояние от точки \(A\) до касательной в точке \(B\), имеет одно и то же значение.

Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), \(OA = R\), \(BD\) — касательная, \(OB \perp BD\), \(AD \perp BD\). Требуется доказать, что \(\frac{AB^2}{AD} = \text{const}\).

Решение:

1. Пусть точка \(A\) не лежит на диаметре. Проведем диаметр \(BC\).
2. Угол \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AB = \angle ACB\), так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, на которую опирается хорда.
3. Треугольник \(\triangle BAC\) прямоугольный, так как \(\angle CAB\) опирается на диаметр, следовательно, \(\angle A = 90^\circ\).
4. Рассмотрим треугольники \(\triangle ADB\) и \(\triangle BAC\). Оба треугольника прямоугольные, а также \(\angle ABD = \angle BCA\). Следовательно, \(\triangle ADB \sim \triangle BAC\) (по двум углам).
5. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{BC}\), отсюда \(\frac{AB^2}{AD} = BC = 2R\).
6. Если точка \(A\) лежит на диаметре, то \(AD = AB = 2R\), следовательно, \(\frac{AB^2}{AD} = 2R\).
7. Таким образом, \(\frac{AB^2}{AD} = 2R\), что постоянно равно диаметру окружности, и это требовалось доказать.

Дано: окружность \((O; R)\), \(AB \in a\), \(CD \in b\), \(a \cap b = M\). Требуется доказать, что \(MA = MD\) и \(MC = MB\).

Рассмотрим два случая:

а) \(AC = BD\) — хорды окружности.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACM\) и \(\triangle BDM\). По условию:

1. \(AC = BD\) — стороны треугольников равны.
2. Углы \(\angle CAB = \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BC\) — равны, так как дуги \(AB\) и \(CD\) делятся пополам.
3. Углы \(\angle ABD = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle AD\) — равны, так как дуги \(AB\) и \(CD\) делятся пополам.

Следовательно, треугольники \(\triangle ACM\) и \(\triangle BDM\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует, что \(MA = MD\) и \(MC = MB\).

б) \(AB = CD\) — хорды окружности.

Рассмотрим углы:

1. \(\angle BAC = \angle BDC = \frac{1}{2} \angle BC\), так как дуги \(AB\) и \(CD\) делятся пополам.
2. \(\angle ADB = \frac{1}{2} \angle AB = \frac{1}{2} \angle CD = \angle CAD\), так как дуги \(AB\) и \(CD\) делятся пополам.

Следовательно, \(\angle BAC + \angle CAD = \angle BDC + \angle ADB\), отсюда \(\angle A = \angle B\). Таким образом, треугольник \(\triangle AMD\) равнобедренный, значит \(MA = MD\). Поскольку \(AB = CD\), то \(MC = MB\).

Таким образом, в обоих случаях доказано, что \(MA = MD\) и \(MC = MB\).