Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 879 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \( B_1 \) и \( C_1 \) — середины дуг \( AB \) и \( AC \) (рис. 271). Докажите, что \( AM = AN \).
Дано: Окружность \( (O; R) \). Углы \( \angle AB_1 = \angle B_1B = \frac{1}{2} \angle AB \), \( \angle AC_1 = \angle C_1C = \frac{1}{2} \angle AC \). Точки пересечения \( AB \cap B_1C_1 = M \), \( AC \cap BC = N \). Необходимо доказать, что \( AM = AN \).
Рассмотрим доказательство:
1. Углы \( \angle AB_1 = \angle B_1B = \frac{1}{2} \angle AB \). Следовательно, \( \angle B_1AB = \angle B_1BA = \angle B_1C_1A \).
2. Углы \( \angle AC_1 = \angle C_1C = \frac{1}{2} \angle AC \). Следовательно, \( \angle C_1AC = \angle C_1CA = \angle C_1B_1A \).
3. Из этого следует, что \( \angle AB_1M = \angle C_1AN \) и \( \angle B_1AM = \angle AC_1N \). Значит, \( \angle AMB_1 = \angle ANC_1 \).
4. Угол \( \angle AMN = 180^\circ — \angle AMB_1 — \angle ANM = 180^\circ — \angle ANC_1 \). Следовательно, \( \angle AMN = \angle ANM \), а значит, треугольник \( \triangle AMN \) равнобедренный. Отсюда \( AM = AN \), что и требовалось доказать.
Дано: окружность \((O; R)\), углы \(\angle AB_1 = \angle B_1B = \frac{1}{2} \angle AB\), \(\angle AC_1 = \angle C_1C = \frac{1}{2} \angle AC\). Точки пересечения \(AB \cap B_1C_1 = M\), \(AC \cap BC = N\). Требуется доказать, что \(AM = AN\).
Рассмотрим решение.
1. По условию углы \(\angle AB_1 = \angle B_1B = \frac{1}{2} \angle AB\). Это означает, что дуга \(AB_1\) равна дуге \(B_1B\), а следовательно, дуга \(AB_1\) также равна дуге \(B_1C_1\). Из этого следует, что \(\angle B_1AB = \angle B_1BA = \angle B_1C_1A\). Таким образом, треугольник \(\triangle AB_1C_1\) имеет равные углы при вершинах \(B_1\) и \(A\).
2. Аналогично, по условию углы \(\angle AC_1 = \angle C_1C = \frac{1}{2} \angle AC\). Это означает, что дуга \(AC_1\) равна дуге \(C_1C\), а следовательно, дуга \(AC_1\) также равна дуге \(C_1B_1\). Из этого следует, что \(\angle C_1AC = \angle C_1CA = \angle C_1B_1A\). Таким образом, треугольник \(\triangle AC_1B_1\) имеет равные углы при вершинах \(C_1\) и \(A\).
3. Рассмотрим точку \(M\) — точку пересечения \(AB\) и \(B_1C_1\). Углы \(\angle AB_1M\) и \(\angle C_1AN\) равны, так как вершины \(M\) и \(N\) находятся на одной и той же дуге окружности, а дуги \(AB_1\) и \(C_1A\) равны. Аналогично, углы \(\angle B_1AM\) и \(\angle AC_1N\) равны, так как вершины \(M\) и \(N\) находятся на одной и той же дуге окружности, а дуги \(B_1A\) и \(AC_1\) равны.
4. Из равенства углов \(\angle AB_1M = \angle C_1AN\) и \(\angle B_1AM = \angle AC_1N\) следует, что углы \(\angle AMB_1\) и \(\angle ANC_1\) равны. Это равенство углов означает, что треугольники \(\triangle AMB_1\) и \(\triangle ANC_1\) подобны.
5. Рассмотрим угол \(\angle AMN\). Этот угол равен \(180^\circ — \angle AMB_1 — \angle ANM\). Поскольку \(\angle AMB_1 = \angle ANC_1\), то \(\angle AMN = \angle ANM\). Таким образом, треугольник \(\triangle AMN\) равнобедренный.
6. В равнобедренном треугольнике стороны, прилежащие к равным углам, равны. Следовательно, \(AM = AN\).
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.