ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 870 Атанасян — Подробные Ответы

Точка \( C \) лежит на отрезке \( AB \). Постройте точку \( D \) прямой \( AB \), не лежащую на отрезке \( AB \), так, чтобы
\(
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}.
\)
Всегда ли задача имеет решение?

Дано: отрезок \(AB\), точка \(C \in [AB]\). Требуется построить точку \(D \in [AB]\), такую что \(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}\).

Решение:

1. Провести прямую, выбрать точку \(A\), отложить отрезок \(AB\). Поставить точку \(C \in [AB]\).

2. Восстановить перпендикуляр в точке \(A\) к прямой \(AB\).
3. Построить окружность \(O_c(A, AC)\). В нижней полуплоскости отметить точку пересечения \(C_1 = AC_1 \cap O_c\).
4. Построить окружность \(O_b(C_1, CB)\). Отметить точку пересечения \(B_1 = AC_1 \cap O_b\), где \(B_1\) находится над \(C_1\) по перпендикуляру.
5. Провести прямую \(B_1B\) и параллельную ей прямую \(C_1D \parallel B_1B\), проходящую через точку \(C_1\).
6. Точка \(D\) — искомая.

Анализ:
Если \(AC < CB\), решение находится слева от \(AB\).
Если \(\frac{AC}{CB} = 1\), решений нет, так как \(B_1 \notin AB\), а \(B_1B \parallel CC_1\).

Дано: отрезок \(AB\), точка \(C \in [AB]\). Требуется построить точку \(D \in [AB]\), такую что \(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}\).

Полное решение:

1. Построение начальных точек:
— Проведем прямую и обозначим на ней точку \(A\).
— Отложим отрезок \(AB\) заданной длины, отметим точку \(B\).
— На отрезке \(AB\) поставим точку \(C\), принадлежащую отрезку \(AB\).

2. Восстановление перпендикуляра:
— В точке \(A\) к прямой \(AB\) восстановим перпендикуляр. Это можно сделать с помощью угольника или циркуля.

3. Построение первой окружности:
— Построим окружность с центром в точке \(A\) и радиусом \(AC\). Радиус окружности равен длине отрезка \(AC\).
— В нижней полуплоскости относительно прямой \(AB\) отметим точку пересечения окружности с перпендикуляром. Обозначим эту точку как \(C_1\).

4. Построение второй окружности:
— Построим окружность с центром в точке \(C_1\) и радиусом \(CB\). Радиус окружности равен длине отрезка \(CB\).
— Найдем точку пересечения этой окружности с прямой \(AC_1\). Обозначим точку пересечения как \(B_1\), причем \(B_1\) лежит над точкой \(C_1\) по перпендикуляру.

5. Проведение прямой через точки \(B_1\) и \(B\):
— Соединим точки \(B_1\) и \(B\) прямой. Эта прямая будет служить направлением для определения точки \(D\).

6. Построение точки \(D\):
— Проведем прямую, параллельную \(B_1B\), через точку \(C_1\). Эта прямая пересечет отрезок \(AB\) в точке \(D\).
— Точка \(D\) является искомой.

Анализ условий задачи:
— Если \(AC < CB\), то точка \(D\) находится слева от точки \(C\) на отрезке \(AB\).
— Если \(\frac{AC}{CB} = 1\), то решения не существует, так как точки \(B_1\) и \(B\) не лежат на одной прямой, а \(B_1B\) параллельна прямой \(CC_1\).

Вывод:
Решение задачи возможно только при условии, что \(\frac{AC}{CB} \neq 1\).