Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 864 Атанасян — Подробные Ответы
Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Дано: \( \triangle ABC \), точки \( D, E, F \) — середины высот треугольника, и они лежат на одной прямой.
Требуется доказать, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный.
Решение:
1. Докажем обратное утверждение: только в прямоугольном треугольнике середины высот лежат на одной прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \). Катеты треугольника являются его высотами.
Середины высот катетов: \( AD = DC \), \( CE = EB \).
Проведем третью высоту к гипотенузе \( CH \), отметим её середину \( CF = FH \).
По построению \( DE \) — средняя линия \( \triangle ABC \), которая является геометрическим местом точек, соединяющих вершину \( C \) с любой точкой на гипотенузе \( AB \). Следовательно, \( F \in DE \).
Таким образом, середины высот лежат на одной прямой только в прямоугольном треугольнике.
2. Рассмотрим случай, если \( \triangle ABC \) не прямоугольный.
В этом случае середины высот принадлежат трём различным средним линиям треугольника, которые не лежат на одной прямой.
3. Перейдем к доказательству прямого утверждения.
Нам дано, что середины высот лежат на одной прямой.
Допустим, что \( \triangle ABC \) не является прямоугольным. Тогда, как было доказано выше, середины высот не могут лежать на одной прямой, что противоречит условию задачи.
Вывод: \( \triangle ABC \) — прямоугольный.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), точки \( D, E, F \) — середины высот треугольника \( \triangle ABC \), и они лежат на одной прямой.
Требуется доказать, что треугольник \( \triangle ABC \) — прямоугольный.
Решение:
1. Рассмотрим обратное утверждение: середины высот треугольника лежат на одной прямой только в случае, если треугольник является прямоугольным.
Пусть треугольник \( \triangle ABC \) прямоугольный, где \( \angle C = 90^\circ \). Катеты \( AC \) и \( BC \) являются высотами треугольника.
Найдем середины высот:
— середина высоты, проведенной из вершины \( A \) (высота \( AD \)): \( AD = DC \),
— середина высоты, проведенной из вершины \( B \) (высота \( BE \)): \( CE = EB \).
2. Проведем третью высоту \( CH \), опущенную из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \), и найдем её середину:
— середина высоты \( CH \): \( CF = FH \).
3. По построению, средняя линия \( DE \) треугольника \( \triangle ABC \) является геометрическим местом точек, соединяющих вершину \( C \) с любой точкой на гипотенузе \( AB \).
Следовательно, точка \( F \), которая является серединой высоты \( CH \), лежит на средней линии \( DE \).
4. Таким образом, середины высот \( D, E, F \) лежат на одной прямой. Это справедливо только для прямоугольного треугольника.
5. Рассмотрим случай, если треугольник \( \triangle ABC \) не является прямоугольным.
В этом случае высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортогональный центр), но середины высот принадлежат трём различным средним линиям треугольника.
Эти три линии не могут быть коллинеарными, то есть точки \( D, E, F \) не лежат на одной прямой.
6. Перейдем к доказательству прямого утверждения.
Нам дано, что середины высот \( D, E, F \) лежат на одной прямой.
Допустим, что треугольник \( \triangle ABC \) не является прямоугольным. Тогда, как было показано выше, середины высот не могут лежать на одной прямой. Это противоречит условию задачи.
Следовательно, наше предположение о том, что треугольник \( \triangle ABC \) не является прямоугольным, неверно.
Вывод: треугольник \( \triangle ABC \) является прямоугольным.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.