Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 862 Атанасян — Подробные Ответы
Из вершины \( A \) треугольника \( ABC \) проведены перпендикуляры \( AM \) и \( AK \) к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах \( B \) и \( C \). Докажите, что отрезок \( MK \) равен половине периметра треугольника \( ABC \).
Дано: ΔABC, OB и OC — биссектриссы внешних углов, O — точка пересечения OB и OC, AM = OB, AK = OC.
Требуется доказать: MK = (AB + BC + AC) / 2.
Решение:
1. Отметим точки пересечения: D = MK ∩ AB, E = MK ∩ AC, F = AM ∩ BC, G = AK ∩ BC.
2. В ΔFBA отрезок BM является одновременно биссектриссой и высотой. Следовательно, ΔFBA равнобедренный с основанием FA. Таким образом, FB = AB, FM = MA.
3. В ΔACG отрезок CK является одновременно биссектриссой и высотой. Следовательно, ΔACG равнобедренный с основанием AG. Таким образом, CG = AC, AK = KG.
4. FG = FB + BC + CG = AB + BC + AC.
5. Так как FM = MA и AK = KG, то MK является средней линией. Следовательно, MK = FG / 2 = (AB + BC + AC) / 2.
Ответ: MK = (AB + BC + AC) / 2.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), \( OB \) и \( OC \) — биссектриссы внешних углов, \( O \) — точка пересечения \( OB \) и \( OC \), \( AM = OB \), \( AK = OC \).
Требуется доказать, что \( MK = \frac{AB + BC + AC}{2} \).
Рассмотрим решение задачи:
1. Обозначим точки пересечения:
\( D = MK \cap AB \),
\( E = MK \cap AC \),
\( F = AM \cap BC \),
\( G = AK \cap BC \).
2. Рассмотрим треугольник \( \triangle FBA \):
В этом треугольнике отрезок \( BM \) является одновременно биссектриссой и высотой.
Следовательно, треугольник \( \triangle FBA \) равнобедренный с основанием \( FA \).
Из равнобедренности имеем:
\( FB = AB \),
\( FM = MA \).
3. Рассмотрим треугольник \( \triangle ACG \):
В этом треугольнике отрезок \( CK \) является одновременно биссектриссой и высотой.
Следовательно, треугольник \( \triangle ACG \) равнобедренный с основанием \( AG \).
Из равнобедренности имеем:
\( CG = AC \),
\( AK = KG \).
4. Теперь рассмотрим отрезок \( FG \):
\( FG = FB + BC + CG \).
Подставляя значения:
\( FG = AB + BC + AC \).
5. Так как \( FM = MA \) и \( AK = KG \), то \( MK \) является средней линией в трапеции \( FGMA \).
Следовательно:
\( MK = \frac{FG}{2} = \frac{AB + BC + AC}{2} \).
Таким образом, доказано, что \( MK = \frac{AB + BC + AC}{2} \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.