Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 859 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — выпуклый четырехугольник, точки \( M, N, P, Q \) — середины сторон \( AB, BC, CD, DA \) соответственно. Условие: \( MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} \). Требуется доказать, что ABCD — параллелограмм.
Решение:
1. Пусть стороны ABCD попарно не параллельны.
Согласно ранее доказанным утверждениям (например, из задачи №858), выполняются следующие неравенства:
\[ MP < \frac{AD + BC}{2}, \]
\[ NQ < \frac{AB + CD}{2}. \]
Сложим эти два неравенства:
\[ MP + NQ \leq \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Это противоречит условию задачи, так как равенство не достигается, если стороны ABCD попарно не параллельны. Следовательно, этот случай невозможен.
2. Рассмотрим случай, когда \( AD \parallel BC \), но \( AB \) не параллельно \( CD \).
В этом случае:
\[ MP < \frac{AD + BC}{2}, \]
\[ NQ = \frac{AB + CD}{2}, \] так как \( NQ \) является средней линией трапеции с основаниями \( AB \) и \( CD \).
Сложим:
\[ MP + NQ \leq \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Равенство выполняется, но только в некоторых случаях, когда точки \( M \) и \( N \) совпадают с их теоретическими положениями. Однако это условие не гарантирует, что ABCD является параллелограммом.
3. Рассмотрим случай, когда \( AD \parallel BC \) и \( AB \parallel CD \).
В этом случае:
\[ MP = \frac{AD + BC}{2}, \] так как \( MP \) является средней линией трапеции с основаниями \( AD \) и \( BC \),
\[ NQ = \frac{AB + CD}{2}, \] так как \( NQ \) является средней линией трапеции с основаниями \( AB \) и \( CD \).
Сложим:
\[ MP + NQ = \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Равенство выполняется всегда, если стороны попарно параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Вывод: доказано, что если выполняется равенство \( MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} \), то ABCD является параллелограммом.
Дано: ABCD — выпуклый четырехугольник, точки \( M, N, P, Q \) — середины сторон \( AB, BC, CD, DA \) соответственно. Условие: \( MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} \). Требуется доказать, что ABCD — параллелограмм.
Решение:
1. Пусть стороны ABCD попарно не параллельны.
Согласно доказанному ранее (смотрите задачу №858), выполняются следующие неравенства:
\[ MP < \frac{AD + BC}{2}, \]
\[ NQ < \frac{AB + CD}{2}. \]
Сложим эти два неравенства:
\[ MP + NQ \leq \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Это противоречит условию задачи, так как равенство не достигается при условии, что стороны ABCD попарно не параллельны. Следовательно, этот случай невозможен.
2. Рассмотрим случай, когда \( AD \) параллельно \( BC \), но \( AB \) не параллельно \( CD \).
В этом случае:
\[ MP < \frac{AD + BC}{2}, \]
\[ NQ = \frac{AB + CD}{2}, \] так как \( NQ \) является средней линией трапеции с основаниями \( AB \) и \( CD \).
Сложим:
\[ MP + NQ \leq \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Равенство выполняется, но только в некоторых случаях, когда точки \( M \) и \( N \) совпадают со своими теоретическими положениями. Однако это условие не гарантирует, что ABCD является параллелограммом.
3. Рассмотрим последний случай, когда \( AD \) параллельно \( BC \) и \( AB \) параллельно \( CD \).
В этом случае:
\[ MP = \frac{AD + BC}{2}, \] так как \( MP \) является средней линией трапеции с основаниями \( AD \) и \( BC \),
\[ NQ = \frac{AB + CD}{2}, \] так как \( NQ \) является средней линией трапеции с основаниями \( AB \) и \( CD \).
Сложим:
\[ MP + NQ = \frac{AD + BC}{2} + \frac{AB + CD}{2} = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}. \]
Равенство выполняется всегда, если стороны попарно параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Вывод: доказано, что если выполняется равенство \( MP + NQ = \frac{AB + BC + CD + AD}{2} \), то ABCD является параллелограммом.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.