Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 854 Атанасян — Подробные Ответы
В равнобедренном треугольнике \( ABC \) из середины \( D \) основания \( AC \) проведён перпендикуляр \( DH \) к стороне \( BC \). Пусть \( M \) — середина отрезка \( DH \). Докажите, что \( BM \perp AH \).
Рассмотрим доказательство.
1. Проведем высоту \( AE \) к стороне \( BC \). Из условия \( AB = BC \) следует, что треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный. Высота \( AE \) является также медианой и биссектрисой. Получаем:
\( AE \perp DH \), угол \( \angle C \) общий, поэтому
\( \triangle AEC \sim \triangle DHC \).
2. Углы \( \angle CHD = \angle CDB = 90^\circ \), угол \( \angle C \) общий. Следовательно,
\( \triangle BCD \sim \triangle ADCH \).
3. Углы \( \angle BHD = \angle BDC = 90^\circ \), угол \( \angle B \) общий. Следовательно,
\( \triangle BCD \sim \triangle ABDH \).
Отсюда:
\( \triangle ADCH \sim \triangle ABDH \),
\( \triangle AMEC \sim \triangle ADHC \sim \triangle ABDH \).
4. Так как \( AH \) и \( BM \) — сходственные медианы, то
\( \triangle AEH \sim \triangle BHM \).
5. Пусть \( \angle ENA = \angle BMH = \alpha \). Тогда:
\( \angle EAH = \angle HBM = 90^\circ — \alpha \).
6. Рассмотрим треугольник \( \triangle BOH \):
\( \angle OBH = \angle HBM = 90^\circ — \alpha \),
\( \angle BHO = \angle ENA = \alpha \).
Таким образом, доказано, что \( BM \perp AH \).
Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \); \( D \in AC \), \( AD = DC \); \( DH \perp BC \), \( M \in DH \), \( DM = MH \).
Требуется доказать: \( BM \perp AH \).
Рассмотрим решение.
1. Проведем дополнительное построение, а именно высоту \( AE \) к стороне \( BC \).
Так как \( AB = BC \), треугольник \( \triangle ABC \) является равнобедренным. Следовательно, высота \( AE \) одновременно является медианой и биссектрисой.
Углы \( \angle AEC \) и \( \angle DHC \) прямые (\( AE \perp BC \), \( DH \perp BC \)), угол \( \angle C \) общий.
По признаку подобия треугольники \( \triangle AEC \) и \( \triangle DHC \) подобны:
\( \triangle AEC \sim \triangle DHC \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle CHD \) и \( \triangle CDB \):
Углы \( \angle CHD = \angle CDB = 90^\circ \), угол \( \angle C \) общий.
Следовательно, по признаку подобия треугольники \( \triangle CHD \) и \( \triangle CDB \) подобны:
\( \triangle CHD \sim \triangle CDB \).
3. Рассмотрим треугольники \( \triangle BHD \) и \( \triangle BDC \):
Углы \( \angle BHD = \angle BDC = 90^\circ \), угол \( \angle B \) общий.
Следовательно, по признаку подобия треугольники \( \triangle BHD \) и \( \triangle BDC \) подобны:
\( \triangle BHD \sim \triangle BDC \).
Из подобий треугольников \( \triangle CHD \sim \triangle CDB \) и \( \triangle BHD \sim \triangle BDC \) следует:
\( \triangle ADCH \sim \triangle ABDH \),
\( \triangle AMEC \sim \triangle ADHC \sim \triangle ABDH \).
4. Рассмотрим медианы \( AH \) и \( BM \).
Так как \( DM = MH \), точка \( M \) является серединой высоты \( DH \).
Треугольники \( \triangle AEH \) и \( \triangle BHM \) имеют равные углы, так как медианы \( AH \) и \( BM \) являются сходственными:
\( \triangle AEH \sim \triangle BHM \).
5. Пусть угол \( \angle ENA = \alpha \), тогда угол \( \angle BMH = \alpha \).
Углы \( \angle EAH \) и \( \angle HBM \) равны \( 90^\circ — \alpha \).
6. Рассмотрим треугольник \( \triangle BOH \):
Углы \( \angle OBH = \angle HBM = 90^\circ — \alpha \),
\( \angle BHO = \angle ENA = \alpha \).
Так как в треугольнике \( \triangle BOH \) сумма углов \( \angle OBH + \angle BHO = 90^\circ — \alpha + \alpha = 90^\circ \), следует, что \( BM \perp AH \).
Таким образом, доказано, что \( BM \perp AH \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.