Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 853 Атанасян — Подробные Ответы
Из точки \( M \) внутренней области угла \( AOB \) проведены перпендикуляры \( MP \) и \( MQ \) к его сторонам \( OA \) и \( OB \). Из точек \( P \) и \( Q \) проведены перпендикуляры \( PR \) и \( QS \) соответственно к \( OB \) и \( OA \). Докажите, что \( RS \perp OM \).
Краткое решение задачи:
1. Определим точки пересечения:
— \( D = OA \cap QM \),
— \( E = AB \cap PM \),
— \( C = RS \cap OM \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle OPE \) и \( \triangle OQD \):
— \( \angle OPE = \angle OQD = 90^\circ \),
— \( \angle AOB \) — общий угол.
Треугольники \( \triangle OPE \) и \( \triangle OQD \) подобны по двум углам, следовательно:
\[
\frac{OP}{OQ} = \frac{PE}{QD} = \frac{OE}{OD}.
\]
3. Аналогично для \( \triangle OSQ \) и \( \triangle ORP \):
\[
\frac{OS}{OR} = \frac{SQ}{RP} = \frac{OQ}{OP}.
\]
4. Из полученных равенств:
\[
\frac{OP}{OQ} = \frac{OE}{OD} = \frac{OR}{OS} = \frac{OD}{OS}.
\]
Следовательно, по признаку подобия:
\( \triangle OSR \sim \triangle ODE \), что даёт \( SR \parallel DE \).
5. Отметим точку \( F = OM \cap DE \). Пусть:
— \( \angle AOB = \alpha \),
— \( \angle AOM = \beta \).
В треугольнике \( \triangle OPM \):
\[
\angle OMP = 90^\circ — \beta.
\]
В треугольнике \( \triangle PMD \):
\[
\angle PMD = \alpha.
\]
В четырёхугольнике \( OPMQ \):
\[
\angle PMQ = \angle DVE = 180^\circ — \alpha,
\]
\[
\angle EMF = \angle DME — \angle DMF = (180^\circ — \alpha) — (90^\circ — \alpha + \beta) = 90^\circ — \beta.
\]
6. Рассмотрим \( \triangle AQDE \) и \( \triangle AFDM \):
— \( \angle D \) — общий,
— \( \angle DMF = \angle QED = 90^\circ — \alpha + \beta.
Таким образом, \( \triangle AQDE \sim \triangle AFDM \) по двум углам. Следовательно:
\[
\angle DFM = \angle DQE = 90^\circ,
\]
\( DE \parallel OM \), \( RS \parallel OM \).
Что и требовалось доказать.
Полное решение задачи:
Дано: \( \angle AOB \), \( MP \parallel OA \), \( MQ \parallel OB \), \( PR \parallel OB \), \( QS \parallel OA \).
Требуется доказать: \( PS \parallel OM \).
1. Определим точки пересечения:
\( D = OA \cap QM \), \( E = AB \cap PM \), \( C = RS \cap OM \).
2. Рассмотрим треугольники \( \triangle OPE \) и \( \triangle OQD \):
\( \angle OPE = \angle OQD = 90^\circ \), \( \angle AOB \) — общий угол.
Треугольники \( \triangle OPE \) и \( \triangle OQD \) подобны по двум углам. Следовательно:
\[
\frac{OP}{OQ} = \frac{PE}{QD} = \frac{OE}{OD}.
\]
3. Аналогично рассмотрим треугольники \( \triangle OSQ \) и \( \triangle ORP \):
\( \angle OSQ = \angle ORP = 90^\circ \), \( \angle AOB \) — общий угол.
Треугольники \( \triangle OSQ \) и \( \triangle ORP \) подобны по двум углам. Следовательно:
\[
\frac{OS}{OR} = \frac{SQ}{RP} = \frac{OQ}{OP}.
\]
4. Из полученных равенств:
\[
\frac{OP}{OQ} = \frac{OE}{OD} = \frac{OR}{OS} = \frac{OD}{OS}.
\]
Следовательно, по признаку подобия:
\( \triangle OSR \sim \triangle ODE \). Это означает, что \( SR \parallel DE \).
5. Отметим точку \( F = OM \cap DE \). Пусть \( \angle AOB = \alpha \), \( \angle AOM = \beta \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle OPM \):
\[
\angle OMP = 90^\circ — \beta.
\]
Рассмотрим треугольник \( \triangle PMD \):
\[
\angle PMD = \alpha.
\]
Рассмотрим четырёхугольник \( OPMQ \):
\[
\angle PMQ = \angle DVE = 180^\circ — \alpha,
\]
\[
\angle EMF = \angle DME — \angle DMF = (180^\circ — \alpha) — (90^\circ — \alpha + \beta) = 90^\circ — \beta.
\]
6. Рассмотрим треугольники \( \triangle AQDE \) и \( \triangle AFDM \):
У них общий угол \( \angle D \). Также \( \angle DMF = \angle QED = 90^\circ — \alpha + \beta \).
По признаку подобия треугольники \( \triangle AQDE \sim \triangle AFDM \). Следовательно:
\[
\angle DFM = \angle DQE = 90^\circ,
\]
\( DE \parallel OM \), \( RS \parallel OM \).
Таким образом, доказано, что \( PS \parallel OM \).
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.