Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 849 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.
Дано: ΔABC — остроугольный треугольник; AA₁, BB₁, CC₁ — высоты; A₂ = AA₁ ∩ B₁C₁; B₂ = BB₁ ∩ A₁C₁; C₂ = CC₁ ∩ A₁B₁. Доказать, что A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ — биссектрисы треугольника ΔA₁B₁C₁.
Решение:
1. Пересечение всех высот треугольника ABC обозначим точкой M.
2. Запишем выражение для нахождения площади треугольника ABC:
\(S = \frac{1}{2} BC \cdot AA₁ = \frac{1}{2} AC \cdot BB₁\).
Отсюда:
\(BC \cdot AA₁ = AC \cdot BB₁\).
3. Следовательно, отношение:
\(\frac{BC}{B₁A₁} = \frac{AC}{A₁A₁}\).
Угол ∠C общий для треугольников ΔABC и ΔCB₁A₁.
По третьему признаку подобия треугольников имеем:
ΔABC ∼ ΔCB₁A₁.
4. Аналогично:
ΔC₁A₁B₂ ∼ ΔA₁B₁C₂.
По признаку подобия треугольников получаем:
∠B₁A₁C = ∠A, а также ∠MA₁C₂ = 90° − ∠A.
Таким же образом:
ΔAB₁A₁ ∼ ΔABAC.
Отсюда:
∠BA₁C = ∠A, а также ∠MA₁B₂ = 90° − ∠A.
Делаем вывод:
∠MA₁C₂ = ∠MA₁B₂ = 90° − ∠A.
A₁A₂ — биссектриса угла ∠A₁.
Доказательство того, что B₁B₂ и C₁C₂ — биссектрисы, проводится аналогично.
Дано: ΔABC — остроугольный треугольник, AA₁, BB₁, CC₁ — его высоты, точки пересечения высот обозначим как M. Точки A₂, B₂ и C₂ определяются следующим образом: A₂ = AA₁ ∩ B₁C₁, B₂ = BB₁ ∩ A₁C₁, C₂ = CC₁ ∩ A₁B₁. Требуется доказать, что A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ являются биссектрисами треугольника ΔA₁B₁C₁.
Решение:
1. Начнем с вычисления площади треугольника ΔABC. Площадь можно выразить двумя способами через высоты:
\( S = \frac{1}{2} BC \cdot AA₁ = \frac{1}{2} AC \cdot BB₁ \).
Отсюда следует равенство:
\( BC \cdot AA₁ = AC \cdot BB₁ \).
2. Рассмотрим отношение сторон:
\(\frac{BC}{B₁A₁} = \frac{AC}{A₁A₁}\).
Угол ∠C общий для треугольников ΔABC и ΔCB₁A₁. По третьему признаку подобия треугольников имеем:
ΔABC ∼ ΔCB₁A₁.
3. Аналогично рассмотрим треугольник ΔC₁A₁B₂ и треугольник ΔA₁B₁C₂. По признаку подобия треугольников получаем:
∠B₁A₁C = ∠A, а также ∠MA₁C₂ = 90° − ∠A.
Таким же образом:
ΔAB₁A₁ ∼ ΔABAC.
Отсюда:
∠BA₁C = ∠A, а также ∠MA₁B₂ = 90° − ∠A.
4. Введем дополнительные обозначения. Пусть A₁A₂ пересекает сторону B₁C₁ в точке A₂. Докажем, что A₁A₂ является биссектрисой угла ∠A₁ треугольника ΔA₁B₁C₁. Для этого рассмотрим треугольники ΔMA₁C₂ и ΔMA₁B₂. Из вышеуказанного подобия следует, что:
∠MA₁C₂ = ∠MA₁B₂ = 90° − ∠A.
5. Делаем вывод: A₁A₂ делит угол ∠A₁ на два равных угла, следовательно, A₁A₂ — биссектриса угла ∠A₁.
6. Аналогично доказывается, что B₁B₂ и C₁C₂ являются биссектрисами углов ∠B₁ и ∠C₁ треугольника ΔA₁B₁C₁. Для этого используются те же свойства подобия треугольников и равенство углов.
Итак, доказательство завершено. A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — биссектрисы треугольника ΔA₁B₁C₁.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.