Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 845 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике \( ABC \) проведена высота \( BD \). Отрезок \( KA \) перпендикулярен к отрезку \( AB \) и равен отрезку \( DC \), отрезок \( CM \) перпендикулярен к отрезку \( BC \) и равен отрезку \( AD \). Докажите, что отрезки \( MB \) и \( KB \) равны.
Дано:
В треугольнике \( \triangle ABC \) проведена высота \( BD \). Отрезок \( AK \) перпендикулярен к отрезку \( AB \) и равен отрезку \( DC \), отрезок \( CM \) перпендикулярен к \( BC \) и равен \( AD \).
Требуется доказать, что \( BK = BM \).
Решение:
1. Рассмотрим две пары точек \( K_1, K_2 \) и \( M_1, M_2 \), которые подходят по условию задачи.
В треугольнике \( K_1BK_2 \) отрезок \( AB \) является одновременно медианой и высотой. Следовательно, \( BK_1 = BK_2 \).
2. Аналогично, в треугольнике \( M_1BM_2 \) отрезок \( BC \) также является медианой и высотой, поэтому \( BM_1 = BM_2 \).
3. Докажем равенство \( BK_1 = BM_1 \). Для этого рассмотрим треугольники \( \triangle ABK_1 \) и \( \triangle BCM_1 \).
По теореме Пифагора:
\(
BK_1^2 = AK^2 + AB^2 = DC^2 + AD^2 + BD^2,
\)
\(
BM_1^2 = CM^2 + BC^2 = AD^2 + DC^2 + BD^2.
\)
4. Из равенства \( BK_1^2 = BM_1^2 \) следует, что \( BK_1 = BM_1 \).
5. Таким образом, \( BK_1 = BM_1 = BK_2 = BM_2 \), что и требовалось доказать.
Ответ: \( BK = BM \).
Дано:
В треугольнике \( \triangle ABC \) проведена высота \( BD \). Отрезок \( AK \) перпендикулярен к отрезку \( AB \) и равен отрезку \( DC \), отрезок \( CM \) перпендикулярен к \( BC \) и равен \( AD \).
Требуется доказать, что \( BK = BM \).
Решение:
1. Рассмотрим две пары точек \( K_1, K_2 \) и \( M_1, M_2 \).
Точки \( K_1, K_2 \) — основания перпендикуляров, опущенных из точки \( K \) на отрезок \( AB \).
Точки \( M_1, M_2 \) — основания перпендикуляров, опущенных из точки \( M \) на отрезок \( BC \).
Эти точки подходят по условию задачи.
2. В треугольнике \( \triangle K_1BK_2 \) отрезок \( AB \) одновременно является медианой и высотой.
Это означает, что \( BK_1 = BK_2 \).
3. Аналогично, в треугольнике \( \triangle M_1BM_2 \) отрезок \( BC \) также является медианой и высотой.
Следовательно, \( BM_1 = BM_2 \).
4. Докажем равенство \( BK_1 = BM_1 \).
Для этого рассмотрим треугольники \( \triangle ABK_1 \) и \( \triangle BCM_1 \).
По теореме Пифагора для треугольника \( \triangle ABK_1 \):
\( BK_1^2 = AK^2 + AB^2 \).
Учитывая, что \( AK = DC \), получаем:
\( BK_1^2 = DC^2 + AB^2 \).
Для треугольника \( \triangle BCM_1 \):
\( BM_1^2 = CM^2 + BC^2 \).
Учитывая, что \( CM = AD \), получаем:
\( BM_1^2 = AD^2 + BC^2 \).
5. Теперь рассмотрим равенства длин сторон \( AB \) и \( BC \), а также равенство \( DC = AD \).
В треугольниках \( \triangle ABK_1 \) и \( \triangle BCM_1 \) по теореме Пифагора:
\( BK_1^2 = DC^2 + AD^2 + BD^2 \),
\( BM_1^2 = AD^2 + DC^2 + BD^2 \).
6. Из равенства \( BK_1^2 = BM_1^2 \) следует, что \( BK_1 = BM_1 \).
7. Таким образом, \( BK_1 = BM_1 = BK_2 = BM_2 \), что и требовалось доказать.
Ответ: \( BK = BM \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.