Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 841 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая, проходящая через вершину \( C \) параллелограмма \( ABCD \), пересекает прямые \( AB \) и \( AD \) в точках \( K \) и \( M \). Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников \( KBC \) и \( CDM \) равны соответственно \( S_1 \) и \( S_2 \).
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где \(K\) и \(M\) — точки пересечения диагоналей с прямыми \(AB\) и \(AD\) соответственно. Требуется найти площадь \(S_{ABCD}\), если \(S_{KBC} = S_1\) и \(S_{CDM} = S_2\).
1. Рассмотрим треугольники \(AMK\) и \(DMC\). Они подобны по двум углам:
\(\angle AMK = \angle DMC\) (как вертикальные углы),
\(\angle KAM = \angle CDM\) (как накрест лежащие).
Коэффициент подобия треугольников равен:
\[
k = \frac{AM}{MD} = \frac{AK}{DC}.
\]
Отношение площадей подобных треугольников:
\[
\frac{S_{AMK}}{S_{CDM}} = k^2.
\]
Отсюда:
\[
S_{AMK} = k^2 \cdot S_2.
\]
2. Рассмотрим треугольники \(AMK\) и \(KBC\). Они также подобны по двум углам. Коэффициент подобия:
\[
k’ = \frac{KA}{KB} = \frac{KA}{KA + AB}.
\]
Отношение площадей:
\[
\frac{S_{AMK}}{S_{KBC}} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2.
\]
Отсюда:
\[
S_{AMK} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2 \cdot S_1.
\]
3. Запишем уравнение для \(S_{AMK}\):
\[
k^2 \cdot S_2 = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2 \cdot S_1.
\]
Раскроем скобки:
\[
k^2 \cdot S_2 = \frac{k^2}{(k+1)^2} \cdot S_1.
\]
Упростим:
\[
(k+1)^2 = \frac{S_1}{S_2}.
\]
Найдем \(k\):
\[
k+1 = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.
\]
\[
k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1.
\]
4. Найдем площадь параллелограмма \(S_{ABCD}\):
\[
S_{ABCD} = S_1 — S_{AMK} + S_2.
\]
Подставим \(S_{AMK}\):
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\frac{k^2}{(k+1)^2} \cdot S_1\right).
\]
Подставим значение \(k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1\):
\[
S_{AMK} = \left(\frac{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1}{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}\right)^2 \cdot S_1.
\]
Упростим выражение:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1\right)^2 \cdot S_2.
\]
Раскрываем скобки:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\frac{S_1}{S_2} — 2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} + 1\right) \cdot S_2.
\]
Упростим:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — S_1 + 2\sqrt{S_1 S_2} — S_2.
\]
Итоговое выражение:
\[
S_{ABCD} = 2\sqrt{S_1 S_2}.
\]
Ответ:
\[
S_{ABCD} = 2\sqrt{S_1 S_2}.
\]
Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где \(K\) — точка пересечения прямой \(CK\) с \(AB\), а \(M\) — точка пересечения прямой \(CK\) с \(AD\). Даны площади треугольников \(S_{KBC} = S_1\) и \(S_{CDM} = S_2\). Требуется найти площадь параллелограмма \(S_{ABCD}\).
1. Рассмотрим треугольники \(AMK\) и \(DMC\). Они подобны по двум углам:
\(\angle AMK = \angle DMC\) (как вертикальные углы),
\(\angle KAM = \angle CDM\) (как накрест лежащие).
Следовательно, треугольники \(AMK\) и \(DMC\) подобны. Коэффициент подобия:
\[
k = \frac{AM}{MD} = \frac{AK}{DC}.
\]
Отношение площадей подобных треугольников:
\[
\frac{S_{AMK}}{S_{CDM}} = k^2.
\]
Отсюда:
\[
S_{AMK} = k^2 \cdot S_2.
\]
2. Рассмотрим треугольники \(AMK\) и \(KBC\). Они также подобны по двум углам:
\(\angle AMK = \angle KBC\) (как вертикальные углы),
\(\angle KAM = \angle BKC\) (как накрест лежащие).
Коэффициент подобия:
\[
k’ = \frac{KA}{KB} = \frac{KA}{KA + AB}.
\]
Отношение площадей подобных треугольников:
\[
\frac{S_{AMK}}{S_{KBC}} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2.
\]
Отсюда:
\[
S_{AMK} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2 \cdot S_1.
\]
3. Запишем уравнение для \(S_{AMK}\):
\[
k^2 \cdot S_2 = \left(\frac{k}{k+1}\right)^2 \cdot S_1.
\]
Раскроем скобки:
\[
k^2 \cdot S_2 = \frac{k^2}{(k+1)^2} \cdot S_1.
\]
Упростим:
\[
(k+1)^2 = \frac{S_1}{S_2}.
\]
Найдем \(k\):
\[
k+1 = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}.
\]
\[
k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1.
\]
4. Найдем площадь параллелограмма \(S_{ABCD}\):
\[
S_{ABCD} = S_1 — S_{AMK} + S_2.
\]
Подставим \(S_{AMK}\):
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\frac{k^2}{(k+1)^2} \cdot S_1\right).
\]
Подставим значение \(k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1\):
\[
S_{AMK} = \left(\frac{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1}{\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}}\right)^2 \cdot S_1.
\]
Упростим выражение:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} — 1\right)^2 \cdot S_2.
\]
Раскрываем скобки:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — \left(\frac{S_1}{S_2} — 2\sqrt{\frac{S_1}{S_2}} + 1\right) \cdot S_2.
\]
Упростим:
\[
S_{ABCD} = S_1 + S_2 — S_1 + 2\sqrt{S_1 S_2} — S_2.
\]
Итоговое выражение:
\[
S_{ABCD} = 2\sqrt{S_1 S_2}.
\]
Ответ:
\[
S_{ABCD} = 2\sqrt{S_1 S_2}.
\]
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.