Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 818 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Дано: \( ABCD \) — выпуклый четырехугольник, \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \), периметры треугольников равны: \( P_{AOB} = P_{BOC} = P_{COD} = P_{AOD} = P \).
Доказать: \( ABCD \) — ромб.
Решение:
1. По условию равенства периметров треугольников можно записать:
\[
OA + OB + AB = OB + OC + BC, \quad OC + OD + CD = OD + OA + AD.
\]
Сложив, получаем:
\[
AC + BD + AB + CD = AC + BD + BC + AD.
\]
Отсюда следует:
\[
AB + CD = BC + AD.
\]
2. Суммы противоположных сторон равны, также равны разности смежных сторон:
\[
AB — BC = AD — CD.
\]
3. Предположим, что \( AB > BC \), тогда \( AD > CD \), а \( AO > BO \). Это приводит к противоречию с условием равенства периметров:
\[
P_{AOB} + P_{AOD} > P_{BOC} + P_{COD}.
\]
4. Аналогично, предположим, что \( AB < BC \), тогда снова возникает противоречие:
\[
P_{AOB} + P_{AOD} < P_{BOC} + P_{COD}.
\]
5. Следовательно, \( AB = BC \), \( AD = CD \).
6. Рассмотрим равенство \( AB — AD = BC — CD \). Аналогично предыдущему, получаем:
\[
AB = AD, \quad BC = CD.
\]
Таким образом, \( AB = BC = CD = AD \).
7. По признаку равенства противоположных сторон \( ABCD \) — параллелограмм.
8. Если все стороны параллелограмма равны, то он является ромбом. Следовательно:
\[
ABCD \text{ — ромб.}
\]
Что и требовалось доказать.
Дано: \( ABCD \) — выпуклый четырехугольник, \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \), периметры треугольников равны:
\[
P_{AOB} = P_{BOC} = P_{COD} = P_{AOD} = P.
\]
Доказать: \( ABCD \) — ромб.
Решение:
1. Рассмотрим равенство периметров треугольников \( AOB \) и \( BOC \):
\[
OA + OB + AB = OB + OC + BC.
\]
Из этого равенства следует:
\[
OA + AB = OC + BC.
\]
Аналогично для треугольников \( COD \) и \( AOD \):
\[
OC + OD + CD = OD + OA + AD.
\]
Из этого равенства следует:
\[
CD + OC = AD + OA.
\]
Сложим обе пары равенств:
\[
(OA + AB) + (CD + OC) = (OC + BC) + (AD + OA).
\]
Упростим:
\[
AC + BD + AB + CD = AC + BD + BC + AD.
\]
Отсюда получаем:
\[
AB + CD = BC + AD.
\]
2. Суммы противоположных сторон равны, также равны разности смежных сторон. Выразим разности:
\[
AB — BC = AD — CD.
\]
3. Предположим, что \( AB > BC \). Тогда из равенства сумм сторон следует, что \( AD > CD \). Кроме того, из геометрии четырёхугольника следует, что \( AO > BO \). Это приводит к противоречию с условием равенства периметров:
\[
P_{AOB} + P_{AOD} > P_{BOC} + P_{COD}.
\]
Таким образом, предположение \( AB > BC \) неверно.
4. Аналогично предположим, что \( AB < BC \). Тогда из равенства сумм сторон следует, что \( AD < CD \). Кроме того, из геометрии четырёхугольника следует, что \( AO < BO \). Это также приводит к противоречию с условием равенства периметров:
\[
P_{AOB} + P_{AOD} < P_{BOC} + P_{COD}.
\]
Таким образом, предположение \( AB < BC \) неверно.
5. Следовательно, \( AB = BC \), \( AD = CD \).
6. Рассмотрим равенство \( AB — AD = BC — CD \). Подставим равенства \( AB = BC \) и \( AD = CD \):
\[
AB — AD = BC — CD.
\]
Из этого равенства получаем:
\[
AB = AD, \quad BC = CD.
\]
Таким образом, все стороны четырёхугольника равны:
\[
AB = BC = CD = AD.
\]
7. По признаку равенства противоположных сторон \( ABCD \) является параллелограммом.
8. Если все стороны параллелограмма равны, то он является ромбом. Следовательно:
\[
ABCD \text{ — ромб.}
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.