Учебник по геометрии для 7-9 классов, написанный Атанасяном, — это настоящий помощник для школьников и учителей. Он не только помогает разобраться в сложных темах, но и делает процесс изучения интересным и понятным.
Почему этот учебник так ценят:
1. Удобная структура.
Все темы разбиты на логичные и последовательные разделы. Это позволяет легко находить нужный материал и шаг за шагом разбираться в геометрии.
2. Понятный язык.
Объяснения написаны так, чтобы даже сложные вещи стали простыми. Автор старается говорить с учениками на доступном и понятном языке.
3. Задачи для всех.
В учебнике есть задания как для новичков, так и для тех, кто хочет углубиться в тему. Это помогает каждому ученику найти что-то по силам и прокачать свои знания.
4. Наглядность.
Рисунки и схемы делают материал более понятным. Они помогают представить фигуры, их свойства и взаимосвязи.
5. Примеры из жизни.
Многие задачи связаны с реальными ситуациями, что делает геометрию ближе к повседневной жизни. Это не просто теория, а то, что можно применить на практике.
6. Помощь для учителей.
Учебник включает советы и рекомендации, которые помогают преподавателям проводить интересные и продуктивные уроки.
Итог:
Учебник Атанасяна — это не просто книга, а настоящий проводник в мир геометрии. Он помогает не только понять предмет, но и полюбить его. С ним учеба становится проще, интереснее и полезнее.
ГДЗ по Геометрии 9 класс Номер 817 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), медианы \( AA_1, BB_1, CC_1 \).
Необходимо доказать: \( \frac{P}{2} < AA_1 + BB_1 + CC_1 < P \), где \( P = AB + BC + AC \).
Решение:
1. Рассматриваем параллелограмм \( ABCD \), построенный через продолжение медиан. В нём медианы \( AA_1, BB_1, CC_1 \) равны половине соответствующих диагоналей:
\( AA_1 = \frac{1}{2} AD \), \( BB_1 = \frac{1}{2} BD \), \( CC_1 = \frac{1}{2} CD \).
2. Используем неравенство треугольника для сторон \( AD, BD, CD \):
\( AD < AB + AC \), отсюда \( AA_1 < \frac{AB + AC}{2} \).
Аналогично:
\( BB_1 < \frac{AB + BC}{2} \), \( CC_1 < \frac{AC + BC}{2} \).
3. Складываем полученные неравенства:
\( AA_1 + BB_1 + CC_1 < \frac{AB + AC}{2} + \frac{AB + BC}{2} + \frac{AC + BC}{2} = AB + BC + AC = P \).
4. Рассматриваем треугольники \( ABA_1 \) и \( ACA_1 \), используя неравенство треугольников:
\( AA_1 + A_1B > AB \), \( AA_1 + A_1C > AC \).
Складывая, получаем:
\( 2AA_1 + A_1B + A_1C > AB + AC \), откуда:
\( AA_1 > \frac{AB + AC — BC}{2} \).
Аналогично:
\( BB_1 > \frac{AB + BC — AC}{2} \), \( CC_1 > \frac{AC + BC — AB}{2} \).
5. Складываем три последних неравенства:
\( AA_1 + BB_1 + CC_1 > \frac{AB + AC — BC}{2} + \frac{AB + BC — AC}{2} + \frac{AC + BC — AB}{2} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{P}{2} \).
6. Итог:
\( \frac{P}{2} < AA_1 + BB_1 + CC_1 < P \).
Что и требовалось доказать.
Дано: треугольник \( \triangle ABC \), медианы \( AA_1, BB_1, CC_1 \).
Необходимо доказать неравенство:
\[
\frac{P}{2} < AA_1 + BB_1 + CC_1 < P,
\]
где \( P = AB + BC + AC \).
Решение:
1. Рассмотрим параллелограмм \( ABCD \), построенный через продолжение медиан треугольника \( \triangle ABC \).
В данном параллелограмме медианы \( AA_1, BB_1, CC_1 \) равны половине соответствующих диагоналей:
\[
AA_1 = \frac{1}{2}AD, \quad BB_1 = \frac{1}{2}BD, \quad CC_1 = \frac{1}{2}CD.
\]
2. Используем неравенство треугольника для сторон \( AD, BD, CD \) параллелограмма:
\[
AD < AB + AC.
\]
Умножим обе части на \( \frac{1}{2} \):
\[
AA_1 < \frac{AB + AC}{2}.
\]
Аналогично для остальных сторон:
\[
BB_1 < \frac{AB + BC}{2}, \quad CC_1 < \frac{AC + BC}{2}.
\]
3. Складываем полученные неравенства:
\[
AA_1 + BB_1 + CC_1 < \frac{AB + AC}{2} + \frac{AB + BC}{2} + \frac{AC + BC}{2}.
\]
Приведём подобные слагаемые:
\[
AA_1 + BB_1 + CC_1 < AB + BC + AC = P.
\]
4. Рассмотрим треугольники \( ABA_1 \) и \( ACA_1 \), используя неравенство треугольников.
Для треугольника \( ABA_1 \):
\[
AA_1 + A_1B > AB.
\]
Для треугольника \( ACA_1 \):
\[
AA_1 + A_1C > AC.
\]
Складывая эти два неравенства, получаем:
\[
2AA_1 + A_1B + A_1C > AB + AC.
\]
Учитывая, что \( A_1B + A_1C = BC \), имеем:
\[
2AA_1 > AB + AC — BC.
\]
Разделим обе части на \( 2 \):
\[
AA_1 > \frac{AB + AC — BC}{2}.
\]
5. Аналогично для медиан \( BB_1 \) и \( CC_1 \):
Для медианы \( BB_1 \):
\[
BB_1 > \frac{AB + BC — AC}{2}.
\]
Для медианы \( CC_1 \):
\[
CC_1 > \frac{AC + BC — AB}{2}.
\]
6. Складываем три последних неравенства:
\[
AA_1 + BB_1 + CC_1 > \frac{AB + AC — BC}{2} + \frac{AB + BC — AC}{2} + \frac{AC + BC — AB}{2}.
\]
Приведём подобные слагаемые:
\[
AA_1 + BB_1 + CC_1 > \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{P}{2}.
\]
7. Итог:
\[
\frac{P}{2} < AA_1 + BB_1 + CC_1 < P.
\]
Что и требовалось доказать.
Геометрия
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.